Quaternionic Harmonic Analysis and Classical Special functions

Analyse Harmonique Quaternionique et Fonctions Spéciales Classiques

Grégory Mendousse (1)

1 LMR - Laboratoire de Mathématiques de Reims

The general setting of this work is the study of symmetry groups of infinite-dimensional spaces. We answer algebraic questions, using analytical methods. To be more specific, we study certain representations of the complex symplectic group in functional spaces. These representations are characterised by their isotypic decompositions with respect to a maximal compact subgroup. In this work, we describe these decompositions in two different models: a classical model (compact picture) and a more recent one (non-standard picture). We show that this establishes a connection between two families of special functions (hypergeometric functions and Bessel functions); these families correspond to second order differential equations, which are Fuchsian in one case and non-Fuchsian in the other. We also establish a link with certain Emden-Fowler equations and exhibit a simple differential operator that acts on the isotypic decompositions.

Ce travail s’inscrit dans l’étude des symétries d’espaces de dimension infinie. Il répond à des questions algébriques en suivant des méthodes analytiques. Plus précisément, nous étudions certaines représentations du groupe symplectique complexe dans des espaces fonctionnels. Elles sont caractérisées par leurs décompositions isotypiques relativement à un sous-groupe compact maximal. Ce travail décrit ces décompositions dans deux modèles : un modèle classique (dit compact) et un autre plus récent (dit non-standard). Nous montrons que cela établit un lien entre deux familles de fonctions spéciales (fonctions hypergéométriques et fonctions de Bessel) ; ces familles sont associées à des équations différentielles ordinaires d’ordre 2, fuchsiennes dans un cas et non fuchsiennes dans l’autre. Nous mettons aussi en évidence, dans le modèle non-standard, un lien avec certaines équations d'Emden-Fowler, ainsi qu’un opérateur différentiel simple qui agit sur les décompositions isotypiques.

Mots clés: Complex symplectic group; Unitary representations; Isotypic decomposition; Non-standard model; Hypergeometric functions; Bessel functions

Mots clés: Groupe symplectique complexe; Représentation unitaire; Décomposition isotypique; Modèle non-standard; Fonctions hypergéométriques; Fonctions de Bessel

Domaines: Mathématiques [math]; Théorie des représentations [math.RT]

Grégory Mendousse. Analyse Harmonique Quaternionique et Fonctions Spéciales Classiques. Mathématiques [math]. Université de Reims Champagne-Ardenne, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01833951⟩