Some aspects of the geometry of Lipschitz free spaces

Quelques aspects de la géométrie des espaces Lipschitz libres

Colin Petitjean (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

First and foremost, we give the fundamental properties of Lipschitz free spaces. Then, we prove that the canonical image of a metric space M is weakly closed in the associated free space F(M). We prove a similar result for the set of molecules. In the second chapter, we study the circumstances in which F(M) is isometric to a dual space. In particular, we generalize a result due to Kalton on this topic. Subsequently, we focus on uniformly discrete metric spaces and on metric spaces originating from p-Banach spaces. In the next chapter, we focus on l1-like properties. Among other things, we prove that F(M) has the Schur property provided the space of little Lipschitz functions is 1-norming for F(M). Under additional assumptions, we manage to embed F(M) into an l1-sum of finite dimensional spaces. In the fourth chapter, we study the extremal structure of F(M). In particular, we show that any preserved extreme point in the unit ball of a free space is a denting point. Moreover, if F(M) admits a predual, we obtain a precise description of its extremal structure. The fifth chapter deals with vector-valued Lipschitz functions. We generalize some results obtained in the first three chapters. We finish with some considerations of norm attainment. For instance, we obtain a density result for vector-valued Lipschitz maps which attain their norm.

En premier lieu, nous donnons les propriétés fondamentales des espaces Lipschitz libres. Puis, nous démontrons que l'image canonique d'un espace métrique M est faiblement fermée dans l'espace libre associé F(M). Nous prouvons un résultat similaire pour l'ensemble des molécules. Dans le second chapitre, nous étudions les conditions sous lesquelles F(M) est isométriquement un dual. En particulier, nous généralisons un résultat de Kalton sur ce sujet. Par la suite, nous nous focalisons sur les espaces métriques uniformément discrets et sur les espaces métriques provenant des p-Banach. Au chapitre suivant, nous explorons le comportement de type l1 des espaces libres. Entre autres, nous démontrons que F(M) a la propriété de Schur dès que l'espace des fonctions petit-Lipschitz est 1-normant pour F(M). Sous des hypothèses supplémentaires, nous parvenons à plonger F(M) dans une somme l1 d'espaces de dimension finie. Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à la structure extrémale de F(M). Notamment, nous montrons que tout point extrémal préservé de la boule unité d'un espace libre est un point de dentabilité. Si F(M) admet un prédual, nous obtenons une description précise de sa structure extrémale. Le cinquième chapitre s'intéresse aux fonctions Lipschitziennes à valeurs vectorielles. Nous généralisons certains résultats obtenus dans les trois premiers chapitres. Nous obtenons également un résultat sur la densité des fonctions Lipschitziennes qui atteignent leur norme.

Mots clés: Lipschitz free space; Little Lipschitz function; Duality; Schur property; Extremal structure; Vector-valued Lipschitz map

Mots clés: Espace Lipschitz libre; Fonction petit-Lipschitz; Dualité; Propriété de Schur; Structure extrémale; Fonction Lipschitzienne à valeurs vectorielles

Domaines: Analyse fonctionnelle [math.FA]

Colin Petitjean. Quelques aspects de la géométrie des espaces Lipschitz libres. Analyse fonctionnelle [math.FA]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2018. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01826406v1⟩