Exact boundary controllability and exact boundary synchronization for a coupled system of wave equations with Neumann and coupled Robin boundary controls
La contrôlabilité frontière exacte et la synchronisation frontière exacte pour un système couplé d’équations des ondes avec des contrôles frontières de Neumann et des contrôles frontières couplés de Robin
Résumé
For a coupled system of wave equations, the exact boundary controllability and the exact boundary synchronization can be realized by different types of boundary controls, such as Dirichlet type, Neumann type and coupled Robin type and so on. Up to now, there are already fairly complete results for a coupled system of wave equations with Dirichlet boundary controls. Based on these results, in this thesis, we will further consider the exact boundary synchronization for a coupled system of wave equations with Neumann boundary controls and coupled Robin boundary controls.
In this thesis, we firstly give a brief introduction to the history of the research of synchronization as a natural phenomenon, the significance of studying the synchronization, its research background and the present situation, including the relationship between synchronization and controllability.
Then, for a coupled system of wave equations with Neumann boundary controls, on the basis of the results on the exact boundary controllability, we consider its exact boundary synchronization and its exact boundary synchronization by groups. Moreover, the determination of the state of synchronization is discussed in details for the exact boundary synchronization and the exact boundary synchronization by 2 and 3 groups, respectively.
Besides, we consider the exact boundary controllability and the exact boundary synchronization (by groups) for a coupled system of wave equations with coupled Robin boundary controls. Due to difficulties from the lack of regularity of the solution, we have to face a bigger challenge than that in the case with Dirichlet or Neumann boundary controls. In order to overcome this difficulty, we take full advantage of the regularity results for the mixed problem with Neumann boundary conditions (Lasiecka and Triggiani) to discuss the regularity of the mixed problem with coupled Robin boundary conditions. Then we prove the exact boundary controllability for the system, and by the method of compact perturbation, we obtain the non-exact controllability for the system with lack of boundary controls. Based on this, we further study the exact boundary synchronization (by groups) for the same system, the determination of the state of synchronization by groups, and also the necessity of the corresponding compatibility conditions of the coupling matrices.
Dans cette thèse, nous étudions la synchronisation, qui est un phénomène bien répandu dans la nature. Elle a été observé pour la première fois par Huygens en 1665. En se basant sur les résultats de la contrôlabilité frontière exacte, pour un système couplé d’équations des ondes avec des contrôles frontières de Neumann, nous considérons la synchronisation frontière exacte (par groupes), ainsi que la détermination de l’état de synchronisation.
Ensuite, nous considérons la contrôlabilité exacte et la synchronisation exacte (par groupes) pour le système couplé avec des contrôles frontières couplés de Robin. A cause du manque de régularité de la solution, nous rencontrons beaucoup plus de difficultés. Afin de surmonter ces difficultés, on obtient un résultat sur la trace de la solution faible du problème de Robin grâce aux résultats de régularité optimale de Lasiecka-Triggiani sur le problème de Neumann. Ceci nous a permis d’établir la contrôlabilité exacte, et, par la méthode de la perturbation compacte, la non-contrôlabilité
exacte du système. De plus, nous allons étudier la détermination de l’état de synchronisation, ainsi que la nécessité des conditions de compatibilité des matrices de couplage.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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