Sur quelques aspects des extensions à ramification restreinte

Résumé : Soit p un nombre premier, soit K|k une extension galoisienne finie de corps de nombres de degré premier à p et soit S un ensemble fini de premiers de k. Le groupe de Galois G(K,S) de la pro-p extension maximale de K non ramifiée en dehors de S est l'objet central de ce mémoire.\ On se place dans un premier temps dans le cas modéré : on suppose que S ne contient pas les places divisant p. Les travaux combinés de Labute, Minac et Schmidt sur les pro-p groupes mild ont permis d'exhiber les premiers exemples de groupes G(K,S) de dimension cohomologique 2. En implémentant un corollaire de leur critère dans le logiciel PARI/GP, on observe un phénomène de propagation : si k=Q et si le groupe G(Q,S) est mild, un fort pourcentage des groupes G(K,S) l'est également, pour K quadratique imaginaire. En associant au groupe G(K,S) deux graphes orientés dont les arcs sont définis par la ramification dans des extensions p-élémentaires, on démontre un critère théorique pour que ce phénomène de propagation ait lieu. On considère ensuite le cas sauvage : toutes les places au-dessus de p sont contenues dans S. Le groupe de Galois Gal(K|k) agit sur G(K,S) ; on note G le plus grand quotient de G(K,S) sur lequel Gal(K|k) agit trivialement et H le sous-groupe fermé de G(K,S) correspondant. Maire a étudié la liberté du Z_p[[G]]-module H^{ab}. Nous poussons plus loin ses résultats en considérant les phi-composantes de H^{ab} sous l'action de Gal(K|k). Sous de bonnes hypothèses et sous la conjecture de Leopoldt, on démontre une condition nécessaire et suffisante pour que les phi-composantes soient libres ou non. La théorie du corps de classes permet de ramener cette condition à l'étude du régulateur normalisé, et donc à la p-rationalité du corps K. Les expérimentations faites sur PARI/GP dans des familles d'extensions cubiques cycliques, diédrales et cycliques de degré 4 du corps des rationnels corroborent une conjecture de Gras selon laquelle tout corps de nombres est p-rationnel pour p suffisant grand.
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Thèse
Théorie des nombres [math.NT]. Université de Bourgogne Franche-Comté, 2018. Français
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Contributeur : Marine Rougnant <>
Soumis le : mercredi 30 mai 2018 - 13:38:37
Dernière modification le : vendredi 6 juillet 2018 - 15:18:04
Document(s) archivé(s) le : vendredi 31 août 2018 - 16:28:14

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Marine Rougnant. Sur quelques aspects des extensions à ramification restreinte. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Bourgogne Franche-Comté, 2018. Français. 〈tel-01803456〉

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