Product structures in Floer theory for Lagrangian cobordisms
Structures produits sur l'homologie de Floer des cobordismes lagrangiens
Résumé
We construct a product on the Floer complex associated to a pair of Lagrangian cobordisms. This complex is a quotient complex of the Cthulhu complex defined by Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini and Golovko. More precisely, given three exact transverse Lagrangian cobordisms in the symplectisation of a contact manifold, we define a map m_2 by a count of rigid pseudo-holomorphic discs with boundary on the cobordisms and asymptotic to intersection points and Reeb chords in the negative Legendrian ends of the cobordisms. By studying breakings of holomorphic curves, we prove that m_2 satisfy the Leibniz rule on Floer complexes.
More generally, to a (d+1)-tuple of exact transverse Lagrangian cobordisms we associate a map m_d which is again defined by a count of pseudo-holomorphic curves. We show that the maps (m_d) are A-infinity composition maps.
Finally, we extend the Ekholm-Seidel isomorphism between Floer homology of the cobordisms and Legendrian contact homology of the Legendrian positive ends to an A-infinity morphism.
Dans cette thèse, nous construisons un produit sur le complexe de Floer associé à une paire de cobordismes lagrangiens, où ce complexe de Floer est un complexe quotient du complexe de Cthulhu défini par Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini et Golovko. Plus précisément, pour tout triplet de cobordismes lagrangiens exacts transverses dans la symplectisation d'une variété de contact, nous définissons une application m_2 en comptant des courbes holomorphes rigides à bord sur les cobordismes et asymptotes à des points d'intersection et à des cordes de Reeb dans les bouts legendriens négatifs des cobordismes. En étudiant les dégénérescences de courbes holomorphes, on montre que m_2 satisfait la relation de Leibniz sur les complexes de Floer associés.
Plus généralement, à tout (d+1)-uplet de cobordismes lagrangiens transverses on associe une opération m_d définie aussi par un compte de courbes holomorphes. Nous montrons que l'ensemble des opérations (m_d) forme une structure A-infini.
Enfin, nous montrons que l'isomorphisme d'Ekholm-Seidel entre l'homologie de Floer des cobordismes et l'homologie de contact legendrienne des legendriennes dans les bouts positifs, s'étend en un morphisme A-infini.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)