Topologie Algorithmique : combinatoire et plongement
Résumé
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La modélisation 3D s'appuie sur deux principales familles de méthodes. L'une de ces familles de méthodes, appelée souvent courbes et surfaces, se fonde sur une représentation des objets a modéliser par des fonctions (le plus souvent polynomiales). L'autre famille de représentations consiste à discrétiser les objets en cellules (sommets, segments, polygones, polyèdres ... ). Nous étudions ici les problèmes lies a ce dernier type de représentation discrète des objets, ainsi que ses relations avec les "courbes et surfaces". En utilisant le formalisme offert par la Topologie, une branche moderne des mathématiques, nous allons étudier les problèmes suivants: Définir des structures de données efficaces pour représenter la décomposition des objets en éléments discrets. Générer et éditer interactivement des objets, de manière à respecter des données ainsi que des contraintes globales concernant la forme des objets. Construire une paramétrisation sous contraintes d'une surface triangulée, afin de pouvoir facilement lui associer des valeurs. Le premier point sera traite en utilisant certains résultats de topologie combinatoire, et les deux derniers seront étudiés en termes d'homéomorphisme et de transformation continue. Nous présenterons également plusieurs applications de ces méthodes, permettant de résoudre des problèmes de modélisation en géologie numérique. Par exemple, nous montrerons comment modéliser de manière précise les variations de porosité de la roche a l'intérieur d'un réservoir naturel. Des applications possibles de nos méthodes a l'image de synthèse et au placage de textures seront également évoquées.