Analyse der Wiederkehr in dynamischen Systemen auf einer Ordinalskala
L’analyse de la récurrence dans les systèmes dynamiques à l’échelle ordinale
Résumé
Bei der Auswertung umfangreicher Daten sind schnelle und robuste Methoden gefragt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Ansatz, Daten nur auf ordinalem Niveau zu analysieren. Während in der Statistik ordinale Verfahren immer mehr zur Anwendung kommen, gibt es in der Zeitreihenanalyse nur wenige Verfahren. In der ordinalen Analyse interessieren wir uns nicht für die tatsächlichen Werte einer Zeitreihe, sondern lediglich für die Ordnungsrelationen. Damit vernachlässigen wir zwar einerseits eine Menge Information über die Struktur des Systems, andererseits gewinnen die Verfahren jedoch an Robustheit. So ändern sich durch eine beliebige, monoton wachsende Amplitudentransformation der Zeitreihe die Relationen nicht, weshalb ordinale Verfahren demgegenüber invariant sind. Dies erleichtert die Analyse von Daten erheblich, da Probleme wie Nullpunktsverschiebungen oder Verzerrungen in der Skala vernachlässigbar sind. Zudem ist eine viel schwächere Stationarität des zugrunde liegenden Systems erforderlich, insbesondere wenn wir Werte mit einem nicht allzu großen zeitlichen Abstand betrachten.
Um die zeitliche Dynamik eines Systems und dessen Wiederkehrzeiten im Phasenraum zu beschreiben, werden in Abhängigkeit von der Problemstellung verschiedene Ansätze diskutiert. Nur mit Mitteln der ordinalen Zeitreihenanalyse modellieren wir die Wiederkehr zunächst innerhalb einer Trajektorie (univariate Zeitreihenanalyse). Wir erhalten damit eine Statistik, die gegenüber einer großen Klasse periodischer Funktionen invariant ist. In einer Anwendung zur Sprachverarbeitung kann daraus ein robuster Schätzer zur Bestimmung der Pitchperiode abgeleitet werden.
Danach verallgemeinern wir das Modell einer ordinalen Wiederkehr auf einen Vergleich zwischen zwei Trajektorien (bivariate Zeitreihenanalyse). Eine darauf aufbauende Statistik ermöglicht eine robuste Analyse der Synchronisation von gekoppelten Oszillatoren. Bei der Auswertung von Elektroenzephalogrammen tritt der Vorteil einer ordinalen Herangehensweise deutlich hervor. In diesem Fall kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Messbedingungen zeitlich konstant sind. Die Daten können aufgrund vieler Faktoren in der Amplitudenskala oder dem Nullpunkt stark variieren und sind deshalb auf einer metrischen Skala schwierig auszuwerten. Durch den Übergang zu einer ordinalen Skala werden die Daten gefiltert, wobei diese Arbeit u.a. auch der Frage nach geeigneten Parametern nachgeht.
Le traitement de données volumineuses nécessite des méthodes rapides et robustes. Dans le cadre de cette thèse de doctorat, l'approche de l'analyse des données à une échelle ordinale est étudiée. Bien que les méthodes statistiques à l'échelle ordinale soient de plus en plus utilisées, il n' y a que quelques méthodes dans l'analyse des séries temporelles. Dans une analyse ordinale, nous ne sommes pas intéressés aux valeurs réelles d'une série temporelle, mais seulement aux relations d'ordre. D'une part, nous ignorons beaucoup d'informations sur la structure des systèmes, mais d'autre part, les méthodes deviennent plus robustes. Par conséquent, en présence d'une transformation arbitraire, monotone et croissante de la série temporelle, les relations ne changent pas, ce qui rend les méthodes ordinales invariantes. Cela simplifie énormément l'analyse des données, car les problèmes tels que les changements de l'origine ou les distorsions de l'amplitude sont négligeables. En outre, une stationnarité beaucoup plus faible du système analysé est nécessaire, surtout si on considère les retards assez court.
Afin de caractériser la dynamique temporelle d'un système et la récurrence dans l'espace des phases, différentes approches sont discutées en fonction du problème. Seulement au moyen d'une analyse ordinale de séries temporelles univariées, la récurrence de la trajectoire est modélisé . Les statistiques ainsi obtenues sont invariantes par rapport à une grande classe de fonctions périodiques. Dans une application de traitement de la parole, un estimateur robuste est dérivé pour déterminer la fréquence de base.
Ensuite, le concept d'une récurrence ordinale est généralisé à une comparaison entre deux trajectoires (analyse de séries temporelles bivariées). Grâce à ce principe, il est possible d'analyser de manière plus robuste la synchronisation des oscillateurs couplés. Lors d'une évaluation des électroencéphalogrammes, les avantages d'une approche ordinale sont clairement démontrés. Dans une analyse des électroencéphalogrammes, on ne peut pas supposer que les conditions de mesure sont constantes au fil du temps. En raison de nombreux facteurs qui influent l'amplitude ou l'origine, les données peuvent varier considérablement et sont donc difficiles à évaluer sur une échelle métrique. Grâce à la transition vers une échelle ordinale, les données sont filtrées et cette thèse de doctorat se tourne également vers la question des paramètres appropriés.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)