Generalized Okounkov body, hyperbolicity and direct image problems

Le corps d’Okounkov généralisé et des problèmes liés à l’hyperbolicité et l’image directe

Ya Deng (1)

1 IF - Institut Fourier

In Part 1 of this thesis, we construct "Okounkov bodies" for an arbitrary pseudo-effective (1,1)-class on a Kähler manifold, and give a complete characterization of generalized Okounkov bodies on surfaces. We show that this relates the standard Euclidean volume of the body to the volume of the corresponding big class as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld and Musta\c{t}\u{a} in the case of surfaces. We also study the behavior of the generalized Okounkov bodies on the boundary of the big cone. Part 2 deals with Kobayashi hyperbolicity-related problems. Chapter 2's goal is to study the degeneracy of leaves of the one-dimensional foliations on higher dimensional manifolds, along the lines of McQuillan, Brunella, P\u{a}un and Sibony. We generalizes McQuillan's Diophantine approximations for one-dimensional foliations with absolutely isolated singularities, on higher dimensional manifolds. As an application, we give a new proof of Brunella's hyperbolicity theorem, that is, all the leaves of a generic foliation of degree >2 in the complex projective space is hyperbolic. We also discuss some strategy to prove the Green-Griffiths-Lang conjecture for complex surfaces. In Chapter 3, assuming that the canonical sheaf of the direct variety is big in the sense of Demailly, we prove the Kobayashi volume-hyperbolicity for that direct variety. In Chapter 4, our first goal is to deal with effective questions related to the Kobayashi and Debarre conjectures, relying on the work of Brotbek and his joint work with Darondeau. We then combine these techniques to study the conjecture on the ampleness of the Demailly-Semple bundles raised by Diverio and Trapani, and also obtain some effective estimates related to this problem. Our result integrates both the Kobayashi and Debarre conjectures, with some (non-optimal) effective estimates. The purpose of Chapter 4 is twofold: on the one hand we study a Fujita-type conjecture by Popa and Schnell, and give an effective (linear) bound on the generic global generation of the direct image of the twisted pluricanonical bundle. We also point out the relation between the Seshadri constant and the optimal bound. On the other hand, we give an affirmative answer to a question by Demailly-Peternell-Schneider in a more general setting. As applications, we generalize the theorems by Fujino and Gongyo on images of weak Fano manifolds to the Kawamata log terminal cases, and refine a result by Broustet and Pacienza on the rational connectedness of the image. In Chapter 6, we give a concrete and constructive proof of the equivalence between the category of semistable Higgs bundles with vanishing Chern classes and the category of all representations of the fundamental groups on smooth Kähler manifolds. This chapter is written for the complex geometers who are not familiar with the language of differential graded category used by Simpson to prove the above equivalence on smooth projective manifolds, and for those who would like to see an elementary proof of Corlette-Simpson correspondence for semistable Higgs bundles.

Dans le chapitre 1, nous développons le concept de "corps d'Okounkov'' pour une (1,1)-classe pseudo-effective sur une variété kählerienne compacte, et nous donnons une caractérisation complète des corps d'Okounkov généralisés sur les surfaces. Nous démontrons que le volume euclidien standard du corps d'Okounkov calcule le volume d'une classe grosse, tel que défini par Boucksom, ce qui permet de résoudre un problème proposé par Lazarsfeld et Musta\c{t}\u{a} dans le cas des surfaces. Nous étudions aussi le comportement des corps d'Okounkov généralisés sur le bord du cône gros. Dans la deuxième partie, nous abordons des problèmes liés à l'hyperbolicité en géométrie complexe. Dans le chapitre 2, nous étudions la dégénérescence des courbes entières qui sont les feuilles de feuilletages sur des variétés projectives. Nous généralisons l'approximation diophantienne de McQuillan pour les feuilletages de dimension 1 avec des singularités absolument isolées. Comme application, nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Brunella, à savoir que toutes les feuilles d'un feuilletage générique de degré >2$ dans l'espace projectif complexe sont hyperboliques. Finalement, nous discutons d'une stratégie pour démontrer la conjecture de Green-Griffiths-Lang pour les surfaces complexes. Dans le chapitre 3, nous démontrons la non-dégénérescence de la mesure de volume au sens de Kobayashi-Eisenman pour une variété dirigée singulière. Dans le chapitre 4, notre premier objectif est de traiter des questions d'effectivité liées aux conjectures de Kobayashi et Debarre, en nous appuyant sur les travaux de Brotbek et de Brotbek-Darondeau. Ensuite, nous combinons ces techniques pour étudier la conjecture sur l'amplitude des fibrés de Demailly-Semple proposée par Diverio et Trapani, et nous obtenons des estimations effectives liées à ce problème. Notre résultat contient à la fois les conjectures de Kobayashi et Debarre, en plus de certaines estimations effectives. Le but du chapitre 5 est double: d'une part, nous étudions une conjecture du type Fujita proposée par Popa et Schnell, et nous donnons une borne effective linéaire sur la génération globale générique de l'image directe du faisceau pluricanonique tordu. Nous abordons également la relation qui existe entre la valeur de la constante de Seshadri et la borne optimale. D'autre part, nous donnons une réponse affirmative à une question de Demailly-Peternell-Schneider dans un cadre plus général. Comme application, nous généralisons les théorèmes de Fujino et Gongyo sur les images des variétés de Fano faibles au cas KLT, et nous raffinons un résultat de Broustet et Pacienza sur la connexité rationnelle de l'image. Dans le chapitre 6, nous donnons une preuve concrète et constructive de l'équivalence entre la catégorie de fibrés de Higgs semi-stables de classes de Chern nulles, et celle des représentations linéaires du groupe fondamental d'une variété kählerienne compacte lisse. Ce chapitre est rédigé en particulier pour les lecteurs qui ne sont pas familiers avec la terminologie de la catégorie graduée différentielle, telle qu'elle a été utilisée par Simpson pour démontrer l'équivalence ci-dessus sur les variétés projectives lisses. Il est aussi destiné à exposer une preuve élémentaire de la correspondance de Corlette-Simpson pour les faisceaux de Higgs semi-stables.

Mots clés: Generalized Okounkov Bodies; Kobayashi Conjecture; Diverio-Trapani Conjecture; Popa-Schnell Conjecture; McQuillan's Diophantine Approximation; Demailly-Peternell-Schneider Problem; Brunella's Hyperbolicity Theorem; Corlette-Simpson Correspondence; Green-Griffths-Lang Conjecture

Mots clés: le corps d'Okounkov; la conjecture de Kobayashi; la conjecture de Diverio-Trapani; la conjecture de Popa-Schnell; l'approximation diophantienne de McQuillan; la problème de Demailly-Peternell-Schneider; la correspondance de Corlette-Simpson; la conjecture de Green-Griffiths-Lang; le théorème de Brunella

Domaines: Variables complexes [math.CV]; Géométrie algébrique [math.AG]; Systèmes dynamiques [math.DS]

Ya Deng. Generalized Okounkov body, hyperbolicity and direct image problems. Complex Variables [math.CV]. Universite Grenoble Alpes, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01676965⟩