Mass transportation in sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics

Problèmes de transport optimal sur les structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières

Zeinab Badreddine (1)

1 LJAD - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné

This thesis is devoted to the study of mass transportation on sub-Riemannian geometry. More precisely, our aim is to extend previous results on the well-posedness of the Monge problem to cases of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In the first part, we show that, in the case of rank-two analytic distributions in dimension four, we have existence and uniqueness of solutions for the sub-Riemannian quadratic cost, as soon as the distribution satisfies some growth condition. Our strategy to prove it, combines the technique used by Figalli-Rifford which is based on the regularity of the sub-Riemannian distance outside the diagonal in absence of singular minimizing curves, together with a localized contraction property for singular curves in the spirit of the previous work by Cavalletti and Huesmann. In the second part, we deal with regularity issues of the sub- Riemannian distance and we define a class of sub-Riemannian structures on Carnot groups, called h-ideal sub-Riemannian structures, on which the sub-Riemannian distance is h-semiconcave. Together with an assumption on the distribution, we prove heuristically the MCP property on Carnot groups. Anyway, we attempt to prove that MCP property defined on this class of Carnot groups is sufficient to apply the Cavalletti- Huesmann method to prove the well-posedness of the Monge problem.

Cette thèse est consacrée à l’étude des problèmes de transport optimal en géométrie sous-Riemannienne. Plus précisément, notre but est d’étendre le caractère bien-posé du problème de Monge aux cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on traite le cas des distributions analytiques de rang 2 en dimension 4. On montre l’existence et l’unicité de solutions pour le coût quadratique sous-Riemannien, tant que la distribution satisfait une certaine condition de croissance. La stratégie de la preuve combine la technique de Figalli-Rifford basée sur la régularité de la distance sous Riemannienne en dehors de la diagonale en absence de géodésiques minimisantes singulières, avec une propriété de contraction de la mesure pour les courbes singulières dans l’esprit d’un résultat de Cavalletti et Huesmann. Dans une deuxième partie, on s’intéresse aux problèmes de régularité de la distance sous- Riemannienne et on définit sur les groupes de Carnot, les structures sous-Riemanniennes h-idéales sur lesquelles la distance sous-Riemannienne est h-semiconcave. Sous une certaine hypothèse de la distribution, on prouve heuristiquement la propriété MCP sur les groupes de Carnot. On prévoit que cette propriété MCP est une condition suffisante pour appliquer la méthode de Cavalletti-Huesmann afin de prouver que le problème de Monge est bien-posé.

Mots clés: Monge problem; sub-riemannien geometry; singular minimizers

Mots clés: problème de Monge; géométrie sous-Riemannienne; singulières minimisantes

Domaines: Mathématiques [math]

Zeinab Badreddine. Mass transportation in sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. Mathematics [math]. Université de Bourgogne - Franche Compté, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01675005v1⟩