On the constraint equations of modified gravity theories
Des équations de contrainte en gravité modifiée
Résumé
This thesis is devoted to the evolution problem for modified gravity theories. After having explained this problem for General Relativity (GR), we present the n+1 formalism for f(R) theories, Brans-Dicke and scalar-tensor theories. We recall a known result: the Cauchy problem for these theories is well-posed, and the constraint equations are reduced to those of GR with a matter field.
Then we proceed to the same n+1 decomposition for Lovelock and f(Lovelock) theories, the latter being an original result. We show that in the locally conformally flat time-symmetric case, they can be written as the prescription of a sum of sigma_k-curvatures. In order to solve the prescription equation, we introduce a new family of homogeneous semi-symmetric polynomials and prove some concavity results for those polynomials. We express the following conjecture: if this is true, we are able to solve the prescription equation in many cases. For all P, Q in R[X], with deg P = deg Q = n, if P and Q are real-rooted, then the sum for k=0 to n of P^{(k)} Q^{(n-k)} is real-rooted as well.
Cette thèse est consacrée au problème d'évolution des théories de gravité modifiée. Après avoir rappelé ce qu'il en est pour la Relativité Générale (RG), nous exposons le formalisme n+1 des théories f(R), Brans-Dicke et tenseur-scalaire et redémontrons un résultat connu : le problème de Cauchy est bien posé pour ces théories, et les équations de contrainte se réduisent à celles de la RG avec un champ de matière.
Puis nous effectuons la même décomposition n+1 pour les théories de Lovelock et, ce qui est nouveau, f(Lovelock). Nous étudions ensuite les équations de contrainte des théories de Lovelock et montrons qu'elles sont, dans le cas conformément plat et symétrique en temps, la prescription d'une somme de sigma_k-courbures. Afin de résoudre cette équation de prescription, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes semi-symétriques homogènes et développons des résultats de concavité pour ces polynômes. Nous énonçons une conjecture qui, si elle était avérée, nous permettrait de résoudre l'équation de prescription dans de nombreux cas : pour tous P, Q dans R[X], avec deg P = deg Q = n, si P et Q sont scindés, alors la somme pour k=0 à n de P^{(k)} Q^{(n-k)} est également scindée.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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