Investigating decomposition methods for the maximum common subgraph and sum colouring problems

Maël Minot 1
1 M2DisCo - Geometry Processing and Constrained Optimization
LIRIS - Laboratoire d'InfoRmatique en Image et Systèmes d'information
Résumé : L'objectif de cette thèse est, d'un point de vue général, de concevoir et d'évaluer des méthodes de décomposition applicables à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Deux problèmes d'optimisation, en particulier, on été considérés : le problème du plus grand sous-graphe commun, qui consiste à trouver la plus grande partie commune entre deux graphes, et le problème de la somme coloration, dans lequel un graphe doit être colorié d'une façon minimisant une somme de poids. Le problème du plus grand sous-graphe commun (MCIS) est connu pour être très difficile. Il trouve des applications notamment en biologie, en chimie et en traitement d'image, où il survient lorsqu'on compare des objets structurés afin de mesurer leur taux de similarité. L'emploi d'une méthode de décomposition et de techniques de parallélisation est fortement recommandée compte tenu de la difficulté de ce problème. Cependant, les techniques de décomposition existantes s'avèrent peu adaptées au problème du MCIS : certaines génèrent des sous-problèmes très déséquilibrés, tandis que d'autres, comme la décomposition arborescente, sont tout bonnement inapplicables à ce problème. Afin de permettre la décomposition de tels problèmes, Chmeiss et al. ont proposé une approche, la TR-decomposition, qui agit à un plus bas niveau : la microstructure du problème. Cette approche n'avait encore jamais été employée pour le problème du MCIS. Nous l'évaluons dans ce contexte, en cherchant à réduire la taille globale de l'espace de recherche et en nous intéressant aux possibilités de parallélisation. Nous introduisons également une étape de postdécomposition visant à limiter les redondances entre sous-problèmes. Le second problème étudié est celui de la somme coloration. Il, s'agit d'une variante NP-difficile du très connu problème de coloration de graphes. Comme dans la plupart des problèmes de coloration, il est nécessaire d'affecter à chaque sommet du graphe considéré une couleur, tout en veillant à ce qu'aucuns sommets voisins n'utilisent la même couleur. Ce qui distingue le problème de la somme coloration est que chaque couleur possède un poids. Le but est de minimiser la somme des poids associés aux couleurs utilisées par chaque sommet du graphe. Cela produit des instances généralement plus difficiles que le problème de coloration classique, qui, lui, implique simplement une minimisation du nombre total de couleurs utilisées. Peu de méthodes complètes ont été proposées pour ce problème. On trouve cependant dans la littérature, notamment, un modèle de programmation par contraintes (PPC), une approche de type branch and bound, ainsi qu'un modèle de programmation linéaire en nombres entiers (PLNE). Nous avons étudié de manière poussée les capacités de la PPC à résoudre le problème de somme coloration, tout en cherchant des moyens d'augmenter ses performances. Nous avons également étudié une combinaison de la PLNE et de la PPC visant à combiner les points forts de ces deux approches grandement complémentaires. Nous nous sommes inspirés de la très classique technique du « backtracking » borné par une decomposition arborescente (BTD). Nous employons une décomposition arborescente, mais celle-ci a une hauteur bornée à 1. La PPC est utilisée pour énumérer les affectations cohérentes de la racine, et, pour chacune de ces affectations, une sous-problème est trivialement obtenu pour chaque feuille de la décomposition. La PLNE est utilisée pour résoudre à l'optimum chacun de ces sous-problèmes, chacun d'entre eux étant parfaitement indépendant. Afin de tirer parti de la complémentarité de nos approches, nous avons développée une approche portfolio. Le solveur qui en résulte est capable de choisir, pour chaque instance considérée, une des approches disponibles automatiquement en s'appuyant sur un certain nombre de traits observés dans l'instance.
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Thèse
Artificial Intelligence [cs.AI]. INSA de Lyon, 2017. English. 〈NNT : 2017LYSEI120〉
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Contributeur : Maël Minot <>
Soumis le : samedi 30 décembre 2017 - 14:08:53
Dernière modification le : mardi 16 janvier 2018 - 16:32:53

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Maël Minot. Investigating decomposition methods for the maximum common subgraph and sum colouring problems. Artificial Intelligence [cs.AI]. INSA de Lyon, 2017. English. 〈NNT : 2017LYSEI120〉. 〈tel-01673531〉

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