Cubical categories for homotopy and rewriting

Les catégories cubiques en homotopie et en réécriture

Maxime Lucas (1, 2)

1 IRIF (UMR_8243) - Institut de Recherche en Informatique Fondamentale
2 PI.R2 - Design, study and implementation of languages for proofs and programs

Higher dimensional rewriting theory was born following work by Squier on the word problem in the 80s. The goal of this work is to extend and modernize those results from Squier. In the first part of this work we show how to use rewriting to prove coherence theorems for bicategories, pseudofunctors and pseudonatural transformations, extending techniques already applied to monoidal categories. The goal of the second half of this work is to express rewriting theory in a more fitting framework. Our first step towards this goal is to define the notion of cubical (omega,p)-category, and to prove its equivalence with its globular counterpart. These structures are put to use in the final part of this thesis, in order to extend existing results of construction of polygraphic resolutions. The resolutions we consider are slightly different from the ones found in the literature. In particular the Gray tensor product of omega-categories is a key ingredient to our framework. This choice (made necessary for combinatorial reasons) is justified by homotopical considerations.

La réécriture de dimension supérieure est née à la suite de travaux de Squier sur le problème du mot dans les années 80. Ce travail s'attache à étendre et moderniser ces résultats de Squier. Dans un premier temps nous montrons comment la réécriture permet de prouver des résultats de cohérence pour les bicatégories, les pseudfoncteurs et les pseudotransformations naturelles, étendant des méthodes déjà appliquées aux catégories monoidales. Le but de la seconde partie de ce travail est de reformuler la théorie de la réécriture dans un cadre plus naturel. Le premier ingrédient nécessaire à cela est la notion de (omega,p)-catégorie cubique que nous définissons, et prouvons son équivalence avec son pendant globulaire. Ces structures sont mises à profit dans la dernière partie de cette thèse pour étendre les résultats existants de construction de résolution polygraphiques par réécriture. Les résolutions que l'on construit sont d'une nature légèrement différente de celles trouvées dans la littérature, et font appel au produit de Gray des omega-catégories. Ce choix (nécessaire pour des raisons combinatoire) est justifié par des considérations homotopiques.

Mots clés: Higher categories; Homotopy theory; Rewriting Theory

Mots clés: Catégories supérieures; Théorie de l'homotopie; Réécriture de mots

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Catégories et ensembles [math.CT]; Logique en informatique [cs.LO]

Maxime Lucas. Cubical categories for homotopy and rewriting. Algebraic Topology [math.AT]. Université Paris 7, Sorbonne Paris Cité, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01668359⟩