Mathematical study of anisotropic parabolic problems

Étude mathématique des problèmes paraboliques fortement anisotropes

Thomas Blanc (1)

1 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

This manuscript is devoted to the asymptotic analysis of parabolic equations with stiff terms. First, we perform the asymptotic analysis of a parabolic equation with stiff transport terms. An effective limit model is obtained by a two-scale analysis based on ergodic theory results. This effective system is again a parabolic system whose diffusion field is an average of the initial diffusion field along a group of unitary operators. The introduction of a corrector allows us to obtain a strong convergence result, with an order of convergence, for initial data not necessarily well prepared. We propose a numerical method to compute the effective diffusion field. This method is based on a Runge-Kutta scheme and a semi-Lagrangian scheme. The theoretically order of convergence is obtained numerically. We propose a numerical method based on operator splitting for the resolution of the parabolic system with stiff transport terms. Finally, we perform the asymptotic analysis of a strongly anisotropic parabolic problem. Under suitable smoothness hypotheses, an effective variational system is proposed. By using a suitable corrector, we obtain a strong convergence result and we are able to perform the error analysis. The arguments relate again to the two-scale analysis and the ergodic theory.

Ce manuscrit de thèse traite de l’analyse asymptotique de problèmes paraboliques possédant des termes raides. Dans un premier temps, on fait l’analyse asymptotique d’un système parabolique possédant des termes de transport raide. Une analyse à deux échelles, basée sur des résultats de théorie ergodique, nous permet de dériver un système limite effectif. Ce système effectif se trouve être, de nouveau, un système parabolique dont le champ de diffusion peut être explicité par une moyenne du champ de diffusion initial le long d’un groupe d’opérateurs unitaires. L’introduction d’un correcteur nous permet d’obtenir un résultat de convergence forte, avec un ordre de convergence, pour des données initiales non nécessairement bien préparées. On propose dans un second temps une méthode numérique permettant de calculer le champ de diffusion effectif. Celle-ci est basée sur la combinaison d’un schéma Runge-Kutta et d’un schéma de type semi-Lagrangien. L’ordre de convergence obtenu théoriquement est mis en évidence de manière numérique. On propose une méthode numérique basée sur un splitting d’opérateur pour la résolution du système parabolique avec termes de transport raide. Enfin, on effectue l’analyse asymptotique d’un système parabolique fortement anisotrope. Sous de bonnes hypothèses de régularité, un système variationnel effectif est proposé et l’introduction d’un correcteur adapté permet d’obtenir un résultat de convergence forte avec un ordre de convergence. Les arguments utilisés relèvent une nouvelle fois de l’analyse à deux échelles et de la théorie ergodique.

Mots clés: Asymptotic analysis; multi-scale analysis; homogenization; ergodic theory; average operators; semi-Lagrangian schemes

Mots clés: Analyse asymptotique; analyse multi-échelle; homogénéisation; théorie ergodique; opérateurs de moyenne; schémas semi-Lagrangien

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Thomas Blanc. Étude mathématique des problèmes paraboliques fortement anisotropes. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université d'Aix Marseille, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01664720⟩