Fluids, graphs and the Fourier transform : three incarnations of the laplacian.

Fluides, graphes et transformée de Fourier : trois incarnations du laplacien.

Guillaume Lévy (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

This thesis is devoted to the study of the laplacian properties in three fully distinct contexts. In a first part, it will be used to smooth solutions of equations coming from incompressible fluid mechanics. As an application, we will show a result in the spirit of J. Serrin and his continuators' theorem. In a second part, the laplacien is seen as the stationary counterpart of the wave operator on a graph, whose eigenmodes and eigenfrequencies determine the propagation of perturbations on the graph. We explore and disentangle the ties between the grpah's topology, its shape and its first nonzero eigenfrequency. In the last part, the laplacian is thought of as a linear operator which we wish to diagonalize in an appropriate basis, a goal which is intimately tied to the Fourier transform. Two major difficulties appear in our context : the noncommutativity of the groups of interest on the one hand, the appearance of a singular limit in the Fourier transform on the other hand.

Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés du laplacien dans trois contextes bien distincts. Dans une première partie, celui-ci nous sera utile pour régulariser des solutions d'équations venues de la mécanique des fluides incompressibles. En application, on montrera un théorème dans la lignée des résultats de J. Serrin et de ses continuateurs. Dans une deuxième partie, le laplacien est vu comme le pendant stationnaire de l'opérateur des ondes sur un graphe, dont les modes et fréquences propres déterminent la propagation de perturbations sur le graphe. On y explore et démêle les liens entre la topologie du graphe, sa forme et sa première fréquence propre non nulle. Dans une dernière partie, le laplacien est pensé comme un opérateur linéaire à diagonaliser dans une base adaptée, objectif dont l'accomplissement est intimement lié \`a la transformée de Fourier. Deux difficultés majeures apparaissent ici : la non commutativité des groupes auxquels nous nous intéressons d'une part, l'apparition d'une limite singulière de la transformée de Fourier d'autre part.

Mots clés: Eigenfunctions; Fourier transform; incompressible fluids; laplacian; Navier-Stokes; nilpotent groups; quantum graphs; Serrin theorem; shape optimization; unitary irreducible representations

Mots clés: Fluides incompressibles; fonctions propres; graphes quantiques; groupes nilpotents; laplacien; optimisation de formes; représentations unitaires irréductibles; théorème de Serrin; transformée de Fourier

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Théorie spectrale [math.SP]; Analyse classique [math.CA]

Guillaume Lévy. Fluids, graphs and the Fourier transform : three incarnations of the laplacian.. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01636224⟩