Rigid isotopy classification of real quintic rational plane curves

Classification des courbes planes réelles de degré 5 à isotopie rigide

Andrés Jaramillo Puentes (1)

1 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

In order to study the rigid isotopy classes of nodal rational curves of degree 5 in RP2, we associate to every real rational quintic curve with a marked real nodal point a trigonal curve in the Hirzebruch surface Σ3 and the corresponding nodal real dessin on CP1/(z 7→ ¯ z). The dessins are real versions, proposed by S. Orevkov [10], of Grothendieck’s dessins d’enfants. The dessins are graphs embedded in a topological surface and endowed with a certain additional structure. We study the combinatorial properties and decompositions of dessins corresponding to real nodal trigonal curves C ⊂ Σ in real ruled surfaces Σ. Uninodal dessins in any surface with non-empty boundary and nodal dessins in the disk can be decomposed in blocks corresponding to cubic dessins in the disk D2, which produces a classification of these dessins. The classification of dessins under consideration leads to a rigid isotopy classification of real rational quintics in RP2.classification of real rational quintics in RP2.

Afin d’étudier les classes d’isotopie rigide des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RP2, nous associons à chaque quintique avec un point double réel marqué une courbe trigonale dans la surface de Hirzebruch Σ3 et le dessin réel nodal correspondant dans CP1/(z 7→ ¯ z). Les dessins sont des versions réelles, proposées par S. Orevkov dans [10], des dessins d’enfants de Grothendieck. Un dessin est un graphe contenu dans une surface topologique, muni d’une certaine structure supplémentaire. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés combinatoires et les décompositions des dessins correspondants aux courbes trigonales nodales C ⊂Σ dans les surfaces réglées réelles Σ. Les dessins uninodaux sur une surface à bord quelconque et les dessins nodaux sur le disque peuvent être décomposés en blocs correspondant aux dessins cubiques sur le disque D2, ce qui conduit à une classification de ces dessins. La classification des dessins considérés mène à une classification à isotopie rigide près des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RP2.

Mots clés: Real algebraic geometry; Trigonal curves; Rigid isotopy

Mots clés: Géometrie algébrique réelle; Dessins d'enfants; 16ème problème de Hilbert; Isotopie rigide; Courbes algébriques réelles; Courbes trigonales

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Andrés Jaramillo Puentes. Rigid isotopy classification of real quintic rational plane curves. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. English. ⟨NNT : 2017PA066116⟩. ⟨tel-01624267⟩