A particular case of the high-dimensional Weinstein conjecture
Un cas particulier de la conjecture de Weinstein en grande dimension
Résumé
We study the Weinstein conjecture for some high dimensional contact manifolds. This conjecture asserts that every Reeb vector field on a closed oriented manifold has a closed orbit, and was proved by Taubes for every three manifold. We show that this statement holds for contact manifolds supported by an open book decomposition, when the page is obtained from a Weinstein domain by attaching a Weinstein handle along a loose, Legendrian, homologically trivial sphere.
Attaching such a handle performs a contact surgery on the boundary of the domain, which leads to the creation of a small Reeb orbit for some particular contact form. In a first part, we study the properties of a family of holomorphic planes asymptotic to this orbit.
In a second part, we show that the open book decomposition gives rise to a foliation of the symplectisation by holomorphic hypersurfaces, with respect to a suitable stable Hamiltonian structure. The latter can be perturbed into a contact structure supported by the open book decomposition. It allows us to describe a family of holomorphic planes near a given page, thus showing that these planes break along a contractible Reeb orbit.
Cette thèse étudie la conjecture de Weinstein dans le cas de certaines variétés de contact de dimension supérieure ou égale à 5. Cette conjecture, qui affirme que tout champ de Reeb sur une variété close orientée possède une trajectoire périodique, a été démontrée par Taubes pour toute variété de dimension 3. Dans ce texte, on en présente une preuve pour les variétés de contact portées par un livre ouvert dont la page est obtenue, à partir d'un certain domaine de Weinstein, en attachant une anse le long d'une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale.
Dans une première partie, on examine la situation dans la page. L'attachement d'une anse correspond à effectuer une chirurgie de contact sur le bord, ce qui provoque l'apparition d'une petite orbite de Reeb pour une forme de contact particulière. On s'intéresse alors aux propriétés d'une famille de plans holomorphes asymptotes à cette orbite.
Dans une deuxième partie, on prouve que les pages du livre ouvert se relèvent en un feuilletage de la symplectisation par des hyperplans holomorphes, relativement à une structure hamiltonienne stable adaptée. On montre ensuite que cette dernière se déforme en une structure de contact portée par le livre ouvert. Cela permet d'obtenir une description des plans holomorphes au voisinage d'une page donnée, puis de montrer que ces plans se brisent le long d'une orbite de Reeb contractile.
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