E. Définitions and R. Soit, Soit CoAlg R la catégorie des coalgèbres (graduées, cocommutatives, coassociatives et counitaires) sur R, les morphismes

@. Soient, C. , D. Des-coalgèbres-quelconques-sur, R. Leur-produit-est-le-produit-tensoriel-de-r-coalgèbres, and C. , ) ; les projections canoniques sont

Z. Considérons-le-groupe-abélien-k-qui-est-soit-z-soit, On désigne par CoAlg * R la catégorie des objets k-gradués de CoAlg R : les objets sont de la forme C = k?k C * (k) où chaque C * (k) est un objet de CoAlg R (on dit que C * (k) est en poids k), les morphismes sont les morphismes préservant le poids et le degré, Soit H = k?k H * (k) un objet de CoAlg * R . On dit que H est un objet en groupe abélien gradué si chaque H * (k) est une algèbre de Hopf sur R

@. Posons, ) = 0. Nous avons alors

L. 'homologie-d-'un, ?. Soient, and E. , Soient E * (?) la théorie d'homologie généralisée associée au spectre E, et G * (?) la théorie de cohomologie généralisée associée au spectre G, les deux théories sont non-réduites. Soit {G k } k?Z le ?-spectre multiplicatif qui représente la théorie G * (?) On renvoie à

. Démonstration, E. Grâce-À-l-'isomorphisme-de-künneth, and . Est-une-co-algèbre-dont-le-coproduit-est-induit-par-la-diagonale-g-k-?-g-k-×-g-k-et-dont-la, counité est induite par l'application G k ? pt, où pt désigne l'espace topologique d'un seul point. De plus, la structure de H-espace sur l'espace de lacets G k induit le produit et l'unité ?, la structure multiplicative de {G k } k?Z

R. Soit and H. Du-morphisme-?, ) k . Alors, R k est un module instable à gauche réduit. Par ailleurs, d'après [HLS93, Proposition 7.2 -Corollary 7

H. R. Où-le-produit-sur-l-'algèbre-extérieur-et-le-produit-tensoriel-correspondent-au-produit-de, On en déduit que, en tant que F 2 -espace vectoriel (gradué par le poids), le module des indécomposables Q(H R * K ( 2 ) * ) est librement engendré par les éléments b J . L'action à droite de l'algèbre de Steenrod A 2 sur ce module est induite par la structure d'anneau de Hopf instable (à droite), ) * (cf. §4.3.3). Grâce aux formules de Cartan, afin de déterminer cette action, il suffit de déterminer l'action des opérations Sq k sur les éléments b (i)

J. Soit and J. Des-suites-finies, où 0 ? j k ? 3. Soit J 1 le sous-ensemble de J dont les éléments sont les suites J telles que j 0 = 0. Soit J 2 le complémentaire de J 1 . L'objectif de cette sous-section est de démontrer le résultat suivant : Proposition 4.5.12. ? En tant que F 2 -espace, ) * ) est librement engendré par les éléments de la forme b J avec J ? J 2

A. Exemple, 1.8. ? Les foncteurs P F 2 et I F

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