Méthodes d'analyse de Fourier en hydrodynamique : des mascarets aux fluides avec capillarité

Cosmin Burtea 1
1 UMR8050
LAMA - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Résumé : Dans la première partie de cette thèse on étudie les systèmes abcd qui ont été dérivés par J.L. Bona, M. Chen et J.-C. Saut en 2002. Ces systèmes sont des modèles approximant le problème d'ondes hydrodynamiques dans le régime de Boussinesq, à savoir, des vagues de faible amplitude et de grande longueur d'onde. Dans les deux premiers chapitres on considère le problème d'existence en temps long à savoir la construction de solutions pour les systèmes abcd qui ont leur temps d'existence minoré par 1=\varepsilon où \varepsilon est le rapport entre une amplitude typique de vague et la profondeur du canal. Dans un premier temps on considère des données initiales appartenant aux espaces de Sobolev qui sont inclus dans l'espace des fonctions continues qui s'annulent à l'in ni. D'un point de vue physique cette situation correspond à des vagues localisées en espace. Le point clé est la construction d'une fonctionnelle non linéaire d'énergie qui contrôle certaines normes de Sobolev sur un intervalle de temps long. Pour y arriver, on travaille avec des équations localisées en fréquence. Cette approche nous permet d'obtenir des résultats d'existence en temps long en demandant moins de régularité sur les données initiales. Un deuxième avantage de notre méthode est que l'on peut traiter d'une manière unifiée presque tous les cas correspondant aux différentes valeurs des paramètres abcd. Dans le deuxième chapitre on montre des résultats d'existence en temps long pour le cas des données ayant un comportement non trivial à l'infini. Ce type des données est pertinent pour l'étude de la propagation des mascarets. L'idée qui est à la base de ces résultats est de considérer un découpage convenable de la donnée initiale en hautes et basses fréquences. Dans le troisième chapitre on emploie des schémas de volumes finis afin de construire des solutions numériques. On utilise ensuite nos schémas pour étudier l'interaction d'ondes progressives. La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée à l'étude des problèmes de régularité optimale pour le système de Navier-Stokes qui régit l'évolution d'un fluide incompressible, inhomogène et pour le système Navier-Stokes-Korteweg utilisé pour prendre en compte les effets de capillarité. Plus précisément, on montre que ces systèmes sont bien-posés dans leurs espaces critiques, à savoir, les espaces qui ont la même invariance par changement d'échelle que les systèmes eux-mêmes. Pour pouvoir démontrer ce type de résultats on a besoin d'établir de nouvelles estimations pour un problème de type Stokes avec des coefficients variables peu réguliers.
Type de document :
Thèse
Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Paris-Est, 2017. Français
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Contributeur : Cosmin Burtea <>
Soumis le : mardi 18 juillet 2017 - 09:29:53
Dernière modification le : jeudi 11 janvier 2018 - 06:27:10
Document(s) archivé(s) le : samedi 27 janvier 2018 - 15:27:25

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Cosmin Burtea. Méthodes d'analyse de Fourier en hydrodynamique : des mascarets aux fluides avec capillarité. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Paris-Est, 2017. Français. 〈tel-01563716〉

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