The Matryoshka paradigm : Application to a priori stochastic homogenization of bone elasticity
Le paradigme de la Matryoshka : Application à l'homogénéisation stochastique des propriétés matérielles du tissu osseux
Résumé
The hierarchical structure of bone tissues, as well as the heterogeneity and anisotropy of its physical properties and the uncertainty on in vivo experimental measures make it impossible to establish a deterministic reliable model of bone mechanical properties. Aiming at providing a valuable aide to diagnostics in orthopaedic, the purpose of this thesis is to develop a robust mechanical model able to account for the experimental uncertainty.Therefore we developed a multi-scale stochastic model, based on continuum micromechanics and maximum entropy principle which has proved effective predicting the heterogeneous and anisotropic elastic properties of bone tissue at the organ scale accounting for experimental uncertainty affecting image-based input data.Aiming to clarify the mechanism of propagation of these uncertainties through the chosen principal multi-scale model, others versions have been analyzed. First, the principal model, which uses the volume fractions of the essential constituents (mineral, water, collagen), as primary variables, has been analyzed scale-by-scale (mineral foam, ultra-structure, cortical bone). The effect of the chosen homogenization methods and volume fractions on the resulting composites (as layers of a random Matryoshka) have been discussed. Thanks to this analysis, this model has been simplified and relied directly to the measures straightly accessible form medical imaging of the bone: the tissue mineral density (TMD) and the haversian porosity (HP) and their calibration at millimeter scale. This version of the stochastic model, proved to be as accurate as the proceeding one and, more effective in the description of the bone.Finally, the stochastic model of bone has been completed with the direct modeling of the elastic tensors of the involved materials. For this purpose, the random matrix theory has been applied. This theory can be seen as another declination of the Matryoshka paradigm. In this case, the uncertainty on the random tensor propagate from the inside (random germ) to outside (each layer of random matrix) through a suitable sequence of nonlinear operations. Thanks to the proposed decomposition, at once, the isotropic material class of the resulting material and his spatial variability has been included in the model
Non seulement la structure hiérarchisée du tissu osseux mais aussi son hétérogénéité, son anisotropie et les incertitudes expérimentales de mesures liées aux matériaux vivants rendent en pratique impossible la définition d'un modèle déterministe fiable de ses propriétés matérielles. Dans une démarche d'aide au diagnostic clinique, l'objectif de cette thèse est de développer une modélisation robuste desdites propriétés à l'échelle de l'organe en intégrant l'incertitude expérimentale de mesures.Pour ce-faire, nous avons développé un modèle multi-échelle stochastique basé sur le principe du maximum d'entropie et des méthodes d’homogénéisation en champs moyens (micromécanique) qui s'est montré capable de prédire les propriétés matérielles du tissu osseux à l'échelle de l'organe en prenant en compte les incertitudes expérimentales de données issues de l’imagerie. Dans la perspective d'identifier le mécanisme de propagation de l’incertitude à travers le modèle multi-échelle, plusieurs versions de ce modèle ont été analysées.Le modèle principal utilise comme variables primaires la fraction volumique des constituants essentiels (le minéral, l'eau et le collagène) pour lesquelles une discussion est proposée échelle par échelle en examinant leur effet sur les propriétés effectives à chaque échelle. Cette description est à l’image d'une matryoshka, plus communément appelée poupée russe, via l’aspect multi-échelle. Chaque matryoshka est une série de poupées de tailles décroissantes placées les unes à l'intérieur des autres. Grâce à cette analyse, cette version du modèle a pu être liée de façon directe aux mesures expérimentales issues de l’imagerie médicale que sont la densité minérale du tissu (TMD) et la porosité haversienne (HP) de l'os cortical lors d’une calibration à l’échelle millimétrique. Cette version a été validée en utilisant plusieurs méthodes numériques telles que la méthode aux éléments finis et la méthode de la transformée de Fourier rapide. On a ainsi pu non seulement évaluer la précision de la méthode proposée mais aussi analyser le processus de transfert d'incertitudes entre les échelles.Enfin, la modélisation stochastique de l'os cortical a été complétée en introduisant des champs de tenseurs d’élasticité des matériaux impliqués dans le processus d’homogénéisation pour l’obtention des propriétés effectives. L’incertitude est introduite via un tenseur aléatoire et se propage spatialement en respectant des longueurs de corrélation et en une suite de réalisations. Ici encore, cette approche peut être vue comme une déclinaison des matryoshka via les champs de tenseurs d’élasticité qui se déclinent dans la procédure stochastique
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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