Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eulerian orientations

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes concernant les graphes planaires. Nous travaillons tout d’abord sur les dessins planaires non-alignés, c’est-à-dire des dessins planaires de graphes sur une grille sans que deux sommets se trouvent sur la même ligne ou la même colonne. Nous caractérisons les graphes planaires possédant un tel dessin sur une grille à n lignes et n colonnes, et nous présentons deux algorithmes générant un dessin planaire non-aligné avec arêtes brisées sur cette grille pour tout graphe planaire, avec n − 3 ou min( (2n−5)/3 , #{triangles séparateurs} + 1) brisures au total. Nous proposons également deux algorithmes dessinant un dessin planaire non-aligné sur des grilles d’aire O(n^4). Nous donnons des résultats spécifiques concernant les graphes 4-connexes et de type triangle-emboîté. Le second sujet de cette thèse est la domination de puissance dans les graphes planaires. Nous exhibons une famille de graphes ayant un nombre de domination de puissance γ_P au moins égal à n/6 . Nous montrons aussi que pour tout graphe planaire maximal G à n ≥ 6 sommets, γ_P (G) ≤ (n−2)/4 . Enfin, nous étudions les grilles triangulaires Tk à bord hexagonal de dimension k et nous montrons que γ_P (Tk ) = \lceil k/3 \rceil. Nous étudions également l’énumération des orientations planaires Eulériennes. Nous proposons tout d’abord une nouvelle décomposition de ces cartes. Puis, en considérant les orientations des dernières 2k − 1 arêtes autour de la racine, nous définissons des sous- et sur-ensembles des orientations planaires Eulériennes paramétrés par k. Pour chaque classe, nous proposons un système d’équations fonctionnelles définissant leur série génératrice, et nous prouvons que celle-ci est toujours algébrique. Nous montrons ainsi que la constante de croissance des orientations planaires Eulériennes est comprise entre 11.56 et 13.005.
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Thèse
Discrete Mathematics [cs.DM]. Université de Bordeaux, 2017. English
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Contributeur : Claire Pennarun <>
Soumis le : jeudi 29 juin 2017 - 15:28:17
Dernière modification le : lundi 3 juillet 2017 - 14:14:49

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Claire Pennarun. Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eulerian orientations. Discrete Mathematics [cs.DM]. Université de Bordeaux, 2017. English. 〈tel-01550449〉

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