Investigations on the relevance of Onsager’s conjecture in real incompressible turbulence
À la recherche des singularités de Navier-Stokes à partir de la conjecture d'Onsager
Résumé
The zeroth law of turbulence states that fully developed turbulent incompressible flows dissipate their kinetic energy independently of the Reynolds number. Since its discovery by Taylor in 1935, this law has had many experimental and numerical confirmations, and is at the heart of our understanding of turbulence. In the following years, Taylor proposed a mechanism for the zeroth law, based on viscosity and the idea of a cascade of energy through scales. In 1949, Onsager realized that energy dissipation could occur without the final assistance by viscosity at small scales if the velocity field becomes sufficiently irregular, and conjectured the minimum regularity condition above which energy conservation is ensured in the absence of viscosity. In 2000, two french mathematicians, Jean Duchon and Raoul Robert, were able to derive the analytical expression for the inertial dissipation in terms
of velocity increments, along with the corresponding energy balance. However, the relevance of these ideas for real turbulence has never been studied.
In this thesis, we present the first tests of Onsager’s idea from experimental data, based on the work of Duchon and Robert. We enter the framework of von Kármán flows for which the regularity of Navier-Stokes equations is unknown. We use particle image velocimetry measurements which provide
us with the three components of the velocity field on a meridional plane, and allows for the computation of velocity increments at the resolution scale of our measurement set-up. In this work, we point out the non-trivial character of turbulent flows at the Kolmogorov scale, where we observe irregular topologies in the velocity field at the location of extreme events of inertial energy transfers.
En turbulence pleinement développée et incompressible, on constate que l’énergie cinétique d’un écoulement est dissipée à un taux indépendant du nombre de Reynolds. C’est la loi zéro de la turbulence. Cette loi, qui fut découverte en 1935 par Taylor, a eu de nombreuses confirmations expérimentales et numériques, et est au coeur de notre compréhension de la physique des régimes turbulents. Dans les années qui suivirent, Taylor proposa un mécanisme pour rendre compte de la loi zéro, basé sur la viscosité et sur l’idée d’une cascade d’énergie à travers les échelles. En 1949, Onsager se rend compte qu’une dissipation d’énergie peut aussi se produire sans l’assistance des forces visqueuses à petite échelle si le champ de vitesse devient suffisamment irrégulier, et propose une conjecture sur la régularité minimale que devrait satisfaire le champ de vitesse pour assurer la conversation de l’énergie en l’absence de viscosité. En 2000, deux mathématiciens français, Jean Duchon et Raoul Robert, formalise pour la première fois les idées d’Onsager dans un cadre mathématique rigoureux. Ils établissent la forme exacte de la dissipation d’énergie émanant de l’existence possible de singularités, et I’expriment en fonction des incréments de vitesse. Cependant, la pertinence de ces concepts en turbulence expérimentale reste à établir, et n’a jamais été étudiée.
Dans cette thèse, nous proposons les premiers tests des idées d’Onsager à partir de données expérimentales, en se basant sur le travail de Duchon et Robert. Pour cela, nous nous plaçons dans le cadre des écoulements de von Kármán où la régularité des équations de Navier-Stokes n’est pas connue. Nous utilisons des mesures de vélocimétrie par image de particules pour obtenir les trois composantes du champ de vitesse dans un plan méridien, et ainsi calculer ses incréments à l’échelle de résolution de notre système de mesure. Le résultat principal de ce travail est la mise en évidence du caractère non-trivial des écoulements turbulents à l’échelle de Kolmogorov, où l’on observe des topologies très irrégulières du champ de vitesse coïncidant avec des évènements extrêmes de transferts inertiels d’énergie.