On some algebraic and combinatorial aspects of Relational Analysis.

Sur des aspects algébriques et combinatoires de l'Analyse Relationnelle.

Julien Ah-Pine (1, 2)

1 LSTA - Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée
2 Thales Communications [Colombes]

Relational Analysis is concerned with the analysis of binary relations and their applications in different mathematical fields. The approach presented here and which has been developped initially by J.F. Marcotorchino and P. Michaud is particular as it represents the binary relations as pairwise comparisons matrices, and as it is basically related to different tools from graph theory, statistics and linear programming. The most usual application domains of Relational Analysis are clustering and multicriteria decision making which are respectively based upon the analysis of equivalence and order relations. We have been interested in extending Relational Analysis to binary relations algebra, multi- valued logics, combinatorics and combinatorial optimization. These researches have given new results in the usual application domains which have been mentionned beforehand and also to some new extensions namely, the axiomatic of social choice theory and braids and knots theo- ries. Finally, this work presents the following contributions : • A new clustering algorithm for which the number of clusters is not required • A unified framework for some similarity indices between numerical vectors (which are valid for binary or qualitative or quantitative variables), some categorical variables asso- ciation criteria and ordered variables association criteria • An aggregation process called the “consensus principle”, which is based on a generalized majority rule and which is derived from the combinatoric formulas of H. Poincaré and Ch. Jordan • A generalization of the D. Black, K. Inada and A.K. Sen restriction conditions in social choice theory, which aims at defining sufficient and necessary conditions for the transiti- vity of the social choice obtained from several individual preferences • A new modelling approach for braids that enables to take into account generic isotopic movements of strings and to present algorithmic problems in braids and knots theory as combinatorial optimization problems

L’Analyse Relationnelle est un ensemble de méthodes qui s’intéresse à l’étude des relations binaires et aux applications faisant intervenir ces dernières. La particularité de la théorie pré- sentée ici et proposée initialement par J.F. Marcotorchino et P. Michaud, est de représenter ces relations binaires sous la forme de matrices de comparaisons par paires d’objets sur lesquels portent ces relations. Par ailleurs, elle fait appel à diverses branches mathématiques que sont la théorie des graphes, la statistique et la programmation linéaire. Deux des applications clas- siques de l’Analyse Relationnelle sont la classification automatique et l’agrégation multicritère qui correspondent respectivement à l’étude des relations d’équivalence et des relations d’ordre. Nous avons cherché à enrichir l’Analyse Relationnelle de différents outils provenant de l’al- gèbre relationnelle, de la logique multivalente, de l’analyse combinatoire et de l’optimisation combinatoire. Cette approche nous a permis d’étendre la théorie et les champs d’application de l’Analyse Relationnelle. Outre les applications classiques citées précédemment, nous nous sommes intéressés à l’axiomatique issue de la théorie du choix social et à la théorie des tresses. Les contributions que nous avons pu obtenir finalement dans le cadre de ce mémoire de thèse sont les suivantes : • Définition d’un nouvel algorithme de classification automatique ne nécessitant pas la fixation d’un nombre de classes • Présentation unifiée de certains indices de similarité entre vecteurs numériques (issus de variables binaires, qualitatives ou quantitatives), de certains critères d’association entre variables qualitatives et de certains critères d’association entre variables ordonnées • Définition d’une méthode d’agrégation appelée calcul consensuel, fondée sur une règle majoritaire et qui se base sur les formules combinatoires de H. Poincaré et de Ch. Jordan • Généralisation des résultats de D. Black, de K. Inada et de A.K. Sen en théorie du choix social aboutissant à des conditions nécessaires et suffisantes pour que la préférence col- lective issue de plusieurs préférences individuelles soit transitive • Modélisation originale des tresses permettant de définir de manière générique des mou- vements isotopiques de brins et d’aborder les problèmes algorithmiques autour du groupe des tresses et celui des noeuds sous l’angle de l’optimisation combinatoire

Mots clés: clustering

Mots clés: Analyse Relationnelle; classification automatique; indices de similarité; critère d’association; critère de partitionnement; agrégation multicritère; fonction d’agrégation; choix social; théorème d’impossibilité d’Arrow et restrictions de domaines; permutations; théorie des tresses et des noeuds; mot de tresse minimal et “shortlex”; invariant des noeuds

Domaines: Mathématiques [math]; Statistiques [stat]

Julien Ah-Pine. Sur des aspects algébriques et combinatoires de l'Analyse Relationnelle. : Applications en classification automatique, en théorie du choix social et en théorie des tresses.. Mathématiques [math]. Université de Paris VI, Pierre et Marie Curie, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01515257⟩