Kinetic models for particles interacting with their environment
Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
Résumé
The goal of this PhD is to study a generalisation of a model describing the
interaction between a single particle and its environment. We consider an infinite number
of particles represented by their distribution function. The environment is modelled by a
vibrating scalar field which exchanges energy with the particles. In the single particle case,
after a large time, the particle behaves as if it were subjected to a linear friction force driven
by the environment. The equations that we obtain for a large number of particles are close
to the Vlasov equation. In the first chapter, we prove that our new system has a unique
solution. We then care about some asymptotic issues ; if the wave velocity in the medium
goes to infinity, adapting the scaling of the interaction, we connect our system with the
Vlasov equation. Changing also continuously a function that parametrizes the model, we also
connect our model with the attractive Vlasov-Poisson equation. In the second chapter, we add
a diffusive term in our equation. It means that we consider that the particles are subjected to
a friction force and a Brownian motion. Our main result states that the distribution function
converges to the unique equilibrium distribution of the system.We also establish the diffusive
limit making the wave velocity go to infinity at the same time. We find a simpler equation satisfied by the spatial density. In chapter 3, we prove the validity of both equations studied
in the two first chapters by a mean field limit. The last chapter is devoted to studying the
large time asymptotic properties of the equation that we obtained on the spatial density in
chapter 2. We prove some weak convergence results.
Dans cette thèse, nous étudions la généralisation à une infinité de particules
d’un modèle hamiltonien décrivant les interactions entre une particule et son environement.
Le milieu est considéré comme une superposition continue de membranes vibrantes. Au
bout d’un certain temps, tout se passe comme si la particule était soumise à une force de
frottement linéaire. Les équations obtenus pour un grand nombre de particules sont proches
des équations de Vlasov. Dans un premier chapitre, on montre d’abord l’existence et l’unicité
des solutions puis on s’intéresse à certains régimes asymptotiques ; en faisant tendre la vitesse
des ondes dans le milieu vers l’infini et en redimensionnant les échelles, on obtient à la limite
une équation de Vlasov, on montre que si l’on modifie en plus une fonction paramètrisant le
système, on obtient l’équation de Vlasov-Poisson attractive. Dans un deuxième chapitre, on
ajoute un terme de diffusion à l’équation. Cela correspond à prendre en compte une agitation
brownienne et un frottement linéaire sur les particules. Le principal résultat de ce chapitre
est la convergence de la distribution de particules vers une unique distribution stationnaire.
On montre la limite de diffusion pour ce nouveau système en faisant tendre simultanément
la vitesse de propagation vers l’infini. On obtient une équation plus simple pour la densité
spatiale. Dans le chapitre 3, nous montrons la validité des équations déjà étudiées par une
limite de champ moyen. Dans le dernier chapitre, on étudie l’asymptotique en temps long de
l’équation décrivant l’évolution de la densité spatiale obtenue dans le chapitre 2, des résultats
faibles de convergence sont obtenus.