Development of high-order well-balanced schemes for geophysical flows

Développement de schémas équilibre d'ordre élevé pour des écoulements géophysiques

Victor Michel-Dansac (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This manuscript is devoted to a relevant numerical approximation of the shallow-water equations with the source terms of topography and Manning friction. The first chapter concerns the study of the shallow-water equations, equipped with the aforementioned source terms. Algebraic properties of this system are first obtained. Then, we focus on its steady state solutions for the individual source terms of topography and friction. The second chapter introduces the finite volume method, which is used throughout the manuscript. One-dimensional and two-dimensional systems of conservation laws are studied, and a high-order strategy is presented. The third chapter deals with the numerical approximation of the shallow-water equations with topography and friction. We derive a scheme that preserves all the steady states; preserves the non-negativity of the water height; is able to deal with transitions between wet and dry areas. Relevant numerical experiments are presented to exhibit these properties. The fourth chapter is dedicated to extensions of the scheme developed in the third chapter. Namely, the scheme is extended to two space dimensions, and we suggest a high-order extension. Numerical experiments are once again provided, including real-world simulations.

L'objectif de ce travail est de proposer un schéma numérique pertinent pour les équations de Saint-Venant avec termes source de topographie et de friction de Manning. Le premier chapitre est dédié à l'étude du système de Saint-Venant muni des termes source. Dans un premier temps, les propriétés algébriques de ce système sont obtenues. Dans un second temps, nous nous intéressons à ses états stationnaires, qui sont étudiés pour les termes source individuels de topographie et de friction. Le deuxième chapitre permet de rappeler des notions concernant la méthode des volumes finis. Nous évoquons des schémas aux volumes finis pour des systèmes de lois de conservation unidimensionnels et bidimensionnels, et nous en proposons une extension permettant d'assurer un ordre élevé de précision. Le troisième chapitre concerne la dérivation d'un schéma numérique pour les équations de Saint-Venant avec topographie et friction. Ce schéma permet de préserver tous les états stationnaires ; de préserver la positivité de la hauteur d'eau ; d'approcher les transitions entre zones mouillées et zones sèches, et ce même en présence de friction. Des cas-tests mettant en lumière les propriétés du schéma sont présentés. Le quatrième chapitre permet d'étendre le schéma proposé précédemment, pour prendre en compte des géométries bidimensionnelles et pour assurer un ordre élevé de précision. Des cas-tests numériques sont aussi présentés, y compris des simulations de phénomènes réels.

Mots clés: shallow-water equations; Manning friction; Godunov-type schemes; well-balanced schemes; moving steady states

Mots clés: équations de Saint-Venant; friction de Manning; schémas de type Godunov; schémas équilibre; états stationnaires en mouvement

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Victor Michel-Dansac. Development of high-order well-balanced schemes for geophysical flows. Numerical Analysis [math.NA]. Université de Nantes, Faculté des sciences et des techniques., 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01384958⟩