Homotopy theories of unital algebras and operads

Résumé : Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés homotopiques des algèbres sur une opérade, desopérades elles-mêmes et des opérades colorées, dans le monde des complexes de chaînes. Nousintroduisons une nouvelle adjonction bar-cobar entre les opérades unitaires et les coopéradesconilpotentes courbées. Ceci nous permet de munir ces dernières d'une structure de modèles induite parla structure projective des opérades le long de cette adjonction, qui devient alors une équivalence deQuillen. Ce résultat permet de passer, sans perte d'information homotopique, dans le monde descoopérades qui est plus puissant : on peut y décrire, par exemple, les objets fibrants-cofibrants en termesd'opérades à homotopie près. Nous appliquons ensuite la même stratégie aux algèbres sur une opérade.Pour cela, on munit la catégorie des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure demodèles induite par celle de la catégorie des algèbres d'origine le long de leur adjonction bar-cobar, quidevient une équivalence de Quillen. Cela nous permet de décrire explicitement pour la première fois despropriétés homotopique des algèbres sur une opérade non nécessairement augmentée. Dans unedernière partie, nous introduisons la notion d'opérade colorée à homotopie près que nous arrivons àcomparer aux infinies-opérades de Moerdijk--Weiss au moyen d'un foncteur : le nerf dendroidal. Nousmontrons qu'il étend des constructions dues à Lurie et à Faonte et nous étudions ses propriétéshomotopiques. En particulier, sa restriction aux opérades colorées est un foncteur de Quillen à droite.Tout ceci permet de relier explicitement deux mondes des opérades supérieures
Type de document :
Thèse
General Mathematics [math.GM]. Université Côte d'Azur, 2016. English. 〈NNT : 2016AZUR4058〉
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Contributeur : Brice Le Grignou <>
Soumis le : lundi 3 octobre 2016 - 18:22:54
Dernière modification le : jeudi 3 mai 2018 - 13:32:58
Document(s) archivé(s) le : vendredi 3 février 2017 - 14:11:10

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  • HAL Id : tel-01375927, version 1

Citation

Brice Le Grignou. Homotopy theories of unital algebras and operads. General Mathematics [math.GM]. Université Côte d'Azur, 2016. English. 〈NNT : 2016AZUR4058〉. 〈tel-01375927v1〉

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