Eigenstates of the Neumann magnetic Laplacian with vanishing magnetic field
Étude des états fondamentaux du Laplacien magnétique avec annulation locale du champ
Résumé
This thesis is devoted to the spectral analysis of the Schrödinger operator with magnetic field and semiclassical parameter, on a bounded regular domain $\Omega$ in dimension two, with Neumann boundary condition. We investigate the case when the magnetic field vanishes along a union of smooth curves. The aim is to understand the influence of the cancellation and to study the behaviour of the lowest eigenvalues and the associated eigenfunctions when $h$ tends to $0$. In this regime - called the semiclassical limit - the precise description of the eigenpairs requires the understanding of underlying models. In the first part, we consider a magnetic field which vanishes linearly along a smooth simple curve intersecting the boundary. The second part is devoted to the case when the magnetic field vanishes quadratically. In both cases, we firstly give a one term asymptotics of the lowest eigenvalue. The upper bound is obtained by using appropriate test functions whereas the lower bound results from a localisation process. This last aspect constitutes the most difficult part because of the different scales involved. Then we investigate the localisation properties of the first eigenfunctions thanks to semiclassical Agmon estimates. This leads to a full asymptotic expansion of the first eigenvalues. In the case when the magnetic field vanishes quadratically, we study in addition the model operator for which the cancellation set is a union of two straight lines, whose intersection form a non-zero angle. In the small angle regime, the structure of the spectrum is governed by an operator symbol with two parameters. We establish different properties of this symbol and the associated band function. Numerical simulations based on the finite elements library Mélina++ have guided the analysis and illustrate the obtained results. The difficulties of the numerical computations - induced by the high phase oscillations of the eigenfunctions - are circumvented by polynomial interpolation of high degree.
Cette thèse concerne l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique $h$, sur un domaine borné et régulier $\Omega$ en dimension $2$, avec condition de Neumann au bord. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le champ magnétique s'annule sur une union de courbes régulières. L'objectif est de comprendre l'influence d'une annulation du champ et d'expliciter le comportement des basses valeurs propres et des fonctions propres associées lorsque $h$ tend vers $0$.
Dans cette limite - dite semi-classique - la description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles sous-jacents. La première partie est consacrée au cas d'un champ magnétique qui s'annule
de manière non dégénérée le long d'une courbe régulière simple intersectant le bord du domaine. La deuxième partie concerne le cas d'une annulation quadratique à l'intérieur du domaine. Dans de ces deux cas d'étude, on donne dans un premier temps un équivalent asymptotique de la première valeur propre.
La majoration s'obtient par une construction de fonctions tests appropriées tandis que la minoration s'obtient par une méthode de localisation quantique.
Ce dernier aspect est délicat car il s'agit de gérer la transition entre des modèles ayant des homogénéités différentes. Dans un second temps, on examine les propriétés de localisation des premières fonctions propres, via des estimées d'Agmon semi-classiques. Ceci permet d'obtenir un développement asymptotique complet des premières valeurs propres, à n'importe quel ordre. Dans le cas d'une annulation quadratique, la thèse est complétée par une étude de l'opérateur modèle pour lequel le lieu d'annulation est une union de deux droites sécantes faisant un angle non nul. Dans la limite petit angle, la structure du spectre est gouvernée un symbole opérateur à deux paramètres. On établit différentes propriétés de ce symbole opérateur et de la fonction de bande associée. Des simulations numériques basées sur la librairie éléments finis Mélina++ ont guidé l'analyse et illustrent les résultats obtenus. Les difficultés numériques - dues aux fortes oscillations de la phase dans l'expression des fonctions propres - sont gérées grâce à une interpolation polynomiale de haut degré.
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