About dispersive inequalities via the heat semigroup
Autour des inégalités de dispersion via le semi-groupe de la chaleur
Résumé
In this PhD thesis, we are interested in properties of a heat semigroup that ensure to recover Strichartz estimates in a general framework.
More precisely, we consider a metric space with a doubling measure, equipped with a nonnegative self-adjoint operator generating a semigroup.
The semigroup is said to be a heat semigroup since we assume that it satisfies typical Gaussian and Davies-Gaffney estimates.
Firstly we define Hardy and BMO spaces associated with the semigroup and prove that we can interpolate with the usual Lebesgue spaces.
By an adaptation of the classical tools of Littlewood-Paley theory to the heat semigroup setting, we show $L^p-L^{p'}$ dispersive estimates for $p \in (1,2)$ and Strichartz inequalities
from a $H^1-BMO$ dispersive estimate.
We then prove that this estimate can be reduced to microlocalized $L^2-L^2$ one.
A study of the dispersive phenomena for the wave propagator according to the region of the light cone allows to prove those $L^2-L^2$ estimates.
The different results of this work highlight the connections between dispersion for the wave equation and dispersion for Schrödinger equation.
Thus we propose a new and unified way to prove dispersive estimates and Strichartz inequalities in a very abstract setting, adapted to a heat semigroup.
Dans cette thèse, on s'intéresse aux propriétés du semi-groupe de la chaleur qui assurent de retrouver des inégalités de Strichartz dans un cadre général.
Plus précisément, on considère un espace métrique muni d'une mesure doublante et équipé d'un opérateur auto-adjoint positif qui engendre un semi-groupe.
Le semi-groupe est dit de la chaleur puisqu'on suppose qu'il vérifie des estimations Gaussiennes et de Davies-Gaffney typiques.
Dans un premier temps on définit des espaces de Hardy et $BMO$ associés au semi-groupe et on prouve que l'on peut interpoler avec les espaces de Lebesgue usuels.
En adaptant les outils classiques de la théorie de Littlewood-Paley au semi-groupe de la chaleur on démontre des estimations de dispersion $L^p-L^{p'}$ pour $p \in (1,2)$ et des inégalités de Strichartz
à partir d'estimations de dispersion $H^1-BMO$.
On montre ensuite que l'on peut ramener cette estimation $H^1-BMO$ à une estimation microlocalisée $L^2-L^2$.
Une étude des phénomènes de dispersion pour le propagateur des ondes selon les régions du cône de lumière permet de prouver ces estimations $L^2-L^2$.
Les différents résultats de ce travail mettent en lumière les liens entre la dispersion pour l'équation des ondes et la dispersion pour l'équation de Schrödinger.
On donne ainsi une méthode unifiée pour obtenir des estimations de dispersion et des inégalités de Strichartz dans un cadre, associé au semi-groupe de la chaleur, très général.
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