Exact exponential algorithms for solving graph problems
Algorithmes exacts et exponentiels pour des problèmes de graphes
Résumé
Many algorithmic problems are « hard », in the sense of we do not know how to solve them in polynomial
time, either because they are NP-hard, or, for some enumeration problems, because the number of objects
to be produced is exponential.
During the last fifteen years there was a growing interest in the design of exact algorithms to solve such
problems as efficiently as possible. In the context of this thesis, we focus on the design of exponential exact
algorithms for three hard problems. First, we study the optimisation problem Tropical Connected Set for
which we describe an algorithm to solve it in the general case, then a faster branch-and-reduce algorithm to
solve it on trees; the problem remains difficult even in this case. Secondly we focus on the Minimal
Dominating Sets enumeration problem, for which we give algorithms to solve it on split, cobipartite and
intervals graphs. As a byproduct, we establish upper bounds on the number of minimal dominating sets in
such graphs. The last focus of this thesis concerns the Weak Roman Domination optimisation problem for
which, given a graph, the goal is to build a weight function under some properties. The problem is NP-hard in
general, but we give a linear greedy algorithm which computes such a function on interval graphs.
De nombreux problèmes algorithmiques sont « difficiles », dans le sens où on ne sait pas les résoudre en
temps polynomial par rapport à la taille de l’entrée, soit parce qu’ils sont NP-difficiles, soit, pour certains
problèmes d’énumération, à cause du nombre exponentiel d'objets à énumérer.
Depuis une quinzaine d’années on trouve un intérêt grandissant dans la littérature pour la conception
d'algorithmes exacts sophistiqués afin de les résoudre le plus efficacement possible. Dans le cadre de cette
thèse, nous nous intéressons à la conception d'algorithmes exacts exponentiels autour de trois problèmes
difficiles. Nous étudions tout d'abord le problème d'optimisation Ensemble Connexe Tropical pour lequel
nous décrivons un algorithme afin de le résoudre en général, puis un algorithme de branchement plus rapide
pour le résoudre sur les arbres, ce problème restant difficile même dans ce cas. Nous nous intéressons
ensuite au problème d'énumération Ensembles Dominants Minimaux, pour lequel nous donnons des
algorithmes résolvant ce problème dans les graphes splits, cobipartis, ainsi que dans les graphes
d'intervalles. Nous déduisons des bornes supérieures sur le nombre d'ensembles dominants minimaux
admis par de tels graphes. La dernière étude de cette thèse concerne le problème d'optimisation Domination
Romaine Faible dans lequel, étant donné un graphe nous cherchons à construire une fonction de
pondération selon certaines propriétés. Le problème est NP-difficile en général, mais nous donnons un
algorithme glouton linéaire calculant une telle fonction pour les graphes d'intervalles.