Contribution à l'étude d'équations non locales en dynamique des populations
Résumé
La dynamique des populations est une discipline scientifique qui s'intéresse à la description des variations au cours du temps d'une ou plusieurs variables structurantes d'une ou plusieurs populations. Discipline faisant intervenir de nombreux domaines : mathématique, sciences sociales (géographie, démographie), biologie (génétique, géologie), $\ldots$, elle est à l'origine de nombreuses avancées, notamment en démographie et en écologie. Dès son origine, le recours à la modélisation mathématique a permis de mieux comprendre certains aspects de la dynamique de la population (survie, invasion, clustering, $\ldots$) et a bien souvent contribué à la réconciliation entre prédictions théoriques et données expérimentales.
%Cependant notre compréhension des mécanismes de structuration d'une population reste assez grossière et de nombreuses interactions sont actuellement ignorées dans les modèles. En particulier en écologie,
Les évolutions récentes de nos sociétés (globalisation et multiplications des échanges, transformation des paysages, politique agricole ou démographique,$\ldots$) ont mis à rude épreuve les différents écosystèmes et les modèles historiques basés sur les systèmes d'équations différentielles ne suffisent plus pour appréhender cette nouvelle réalité. Dans ce contexte, la conception et l'analyse de modèles intégrant ces nouvelles contraintes (interaction à longue distance, hétérogénéité des paysages, effets d'échelle, $\ldots$) se révèlent d'une grande importance.
Depuis ma thèse sous la direction de H. Berestycki et soutenue en 2003, mon activité de recherche s'est principalement portée sur l'étude mathématique de modèles du type ``réaction-dispersion'' intégrant ces nouvelles contraintes.
Je me suis principalement intéressé à l'analyse de modèles mathématiques ayant une ou plusieurs composantes décrivant des interactions à longue distance. Ces interactions peuvent résulter de différents processus comme par exemple d'un phénomène de dispersion à longue distance ou d'une compétition entre individus. Les modèles étudiés sont des modèles intégrodifférentiels (IDE) faisant intervenir une variable de temps et une ou plusieurs variables structurantes (espace, trait, $\ldots$) ainsi qu'une partie intégrale modélisant la ou les interactions à longues distances considérées. Concrètement, cela se traduit par l'étude des propriétés qualitatives des solutions d'équations du type
\begin{equation*}
%\label{hdr-intro-eq-noloc}
\partial_tu(t,x)=\mathcal{D}[u](t,x)+f(t,x,u(t,x),\mathcal{K}[u]),
\end{equation*}
où $f,\mathcal{K}$ décrivent les processus démographiques suivis par la population considérée et $\mathcal{D}$ est un opérateur décrivant le déplacement des individus constituant cette population.
Ce manuscrit est une synthèse des résultats que j'ai obtenus sur ce type d'équation.
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