On the Resolution Semiring
Sur le Semi-anneau de Résolution
Résumé
In this thesis, we study a semiring structure with a product based on the
resolution rule of logic programming. This mathematical object was introduced
initially in the setting of the geometry of interaction program in order to model
the cut-elimination procedure of linear logic. It provides us with an algebraic
and abstract setting, while being presented in a syntactic and concrete way, in
which a theoretical study of computation can be carried on.
We will review first the interactive interpretation of proof theory within
this semiring via the categorical axiomatization of the geometry of interaction
approach. This interpretation establishes a way to translate functional programs
into a very simple form of logic programs.
Secondly, complexity theory problematics will be considered: while the
nilpotency problem in the semiring we study is undecidable in general, it will
appear that certain restrictions allow for characterizations of (deterministic
and non-deterministic) logarithmic space and (deterministic) polynomial time
computation.
On étudie dans cette thèse une structure de semi-anneau dont le produit est basé
sur la règle de résolution de la programmation logique. Cet objet mathématique
a été initialement introduit dans le but de modéliser la procédure d’élimination
des coupures de la logique linéaire, dans le cadre du programme de géométrie
de l’interaction. Il fournit un cadre algébrique et abstrait, tout en étant présenté
sous une forme syntaxique et concrète, dans lequel mener une étude théorique
du calcul.
On reviendra dans un premier temps sur l’interprétation interactive de
la théorie de la démonstration dans ce semi-anneau, via l’axiomatisation
catégorique de l’approche de la géométrie de l’interaction. Cette interprétation
établit une traduction des programmes fonctionnels vers une forme très simple
de programmes logiques.
Dans un deuxième temps, on abordera des problématiques de théorie de la
complexité: bien que le problème de la nilpotence dans le semi-anneau étudié
soit indécidable en général, on fera apparaître des restrictions qui permettent de
caractériser le calcul en espace logarithmique (déterministe et non-déterministe)
et en temps polynomial (déterministe).
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