Linear groups definable in p-adic fields

Groupes linéaires définissables dans les corps p-adiques

Benjamin Druart (1)

1 IF - Institut Fourier

This thesis is dedicated to the study of linear definable groups in p-adic fields. Ani-sotropic tori play an important role in this work. We give a model-theoretic andalgebraic description of anisotropic Qp-tori of dimension 1.The study of Cartan subgroups in SL2(Qp) (where Qp is a field elementarily equi-valent to Qp) permit us to give a complete description of all definable subgroups ofSL2(Qp).We are seeing also linear groups definable in p-minimal expansions of p-adically closedfields. We introduce a notion of p-connexity for groups. We etablish that every linearcommutative p-connected group definable in such structure is isomorphic to a semi-algebraic group.Finally some results on genericity and generosity in SL2(Qp) are given.

Cette thèse est consacrée à l’étude des groupes linéaires définissables dans les corpsp-adiques. Les tores anisotropes jouent un rôle central tout au long de ce travail. Nousdonnons une description modèle-théorique et algébrique des Qp-tores anisotropes dedimension 1.L’étude des sous-groupes de Cartan de SL2(Qp) (où Qp est un corps élémentairementéquivalent à Qp) nous permet de donner une description complète de tous les sous-groupes définissables de SL2(Qp).Nous nous intéressons également aux groupes linéaires définissables dans des enri-chissements p-minimaux d’un corps p-adiquement clos. Nous introduisons une notionde p-connexité pour les groupes. Et nous établissons que tout groupe linéaire com-mutatif p-connexe définissable dans une telle structure est isomorphe à un groupesemi-algébrique.Enfin des résultats sur la généricité et la générosité dans SL2(Qp) sont donnés.

Mots clés: Model theory; Definable groups; P-adic; P-minimality; P-connectedness

Mots clés: Théorie des modèles; Groupes définissables; P-adique; P-minimalité; P-connexité

Domaines: Logique [math.LO]; Théorie des groupes [math.GR]

Benjamin Druart. Groupes linéaires définissables dans les corps p-adiques. Logique [math.LO]. Université Grenoble Alpes, 2015. Français. ⟨NNT : 2015GREAM042⟩. ⟨tel-01196660v2⟩