Minimal entropy for locally symmetric spaces
Entropie minimale des espaces localement symétriques
Résumé
In this thesis we give an overview of the volume entropy rigidity problem. A conjecture by Gromov and Katok states that, on a locally symmetric space (M; g0), the symmetric metric g0 has minimal volume entropy among metrices with the same total volume. The text is self-contained, assuming a basic knowledge in differential geometry. Therefore we discuss in the first chapter some background material used in the sequel. The case of compact quotients of H2 _ H2 was unknown before this work ; we give a fully detailled proof. The key-point is to build a calibrating form as in [BCG95]. As a by-product, we present some applications provided by the proof of the volume entropy rigidity conjecture. We conclude by an informal section explaining the motivations of the problem to a non-mathematical reader.
Nous donnons dans cette thèse une preuve du problème de l’entropie volumique minimale dans les quotients compacts de H2_H2. Une conjecture de Gromov et Katok prétend en effet que, sur un espace localement symétrique (M; g0), la métrique de plus petite entropie volumique parmi les métriques de volume fixé est la métrique g0. Le texte se veut relativement abordable. C’est pourquoi nous avons intégré un premier chapitre qui contient une bonne partie du matériel qui sera utilisé par la suite. Puis nous passons en revue les preuves des différents cas du problème déjà traités. Le cas des quotients compacts de H2_H2 n’était pas connu avant ce travail ; nous en détaillons minutieusement la preuve. Notre démarche consiste à faire fonctionner la méthode de calibration imaginée dans [BCG95]. Nous présentons aussi les principales applications qui découlent de la preuve de la conjecture de Gromov et Katok. Nous concluons par une discussion heuristique qui explique les enjeux du problème que nous étudions.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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