Image reconstruction: edge-preserving regularization
Reconstruction d’image : régularisation avec prise en compte des discontinuités.
Résumé
This thesis deals with regularized image reconstruction. We seek images consisting of smooth
regions separated by sharp edges, or discontinuities. This is called edge-preserving regularization. The
reconstructed image is found by minimizing an objective function, which we call the criterion.
Firstly, we propose sufficient conditions for the design of an edge-preserving objective function. Then,
we show that, under these conditions, it is possible to transform the criterion by introducing an auxiliary
variable, which interacts with the main variable either in an additive or in a multiplicative way. The role
of the auxiliary variable is twofold: it marks discontinuities and facilitates the optimization of the
criterion. The augmented objective function is quadratic with respect to the main variable when the
auxiliary variable is fixed, and convex with respect to the auxiliary variable when the main variable is
fixed. Moreover, in the last case, we give the expression of the optimal value of the auxiliary variable.
Secondly, we exploit the properties of such a half-quadratic regularization to design new reconstruction
algorithms. Our optimization strategy is based on alternated minimizations with respect to the auxiliary
and the main variable. This leads to two progressive discontinuity introduction algorithms: ARTUR and
LEGEND. We propose a theoretical and practical study of these algorithms. We apply them to
tomographic reconstruction.
ARTUR and LEGEND offer a good trade-off between computation time and image quality. However,
huge linear systems have to be solved. We propose, as a perspective, a means of reducing the volume of
information involved for reconstruction. Thereby, greater image dimensions can be envisionned.
Cette thèse est consacrée à la reconstruction d’image régularisée. Nous nous intéressons au cas
où l’image à reconstruire est formée de zones homogènes séparées par des bords francs. C’est la
régularisation avec prise en compte des discontinuités. L’image reconstruite est obtenue par
minimisation d’une fonctionnelle d’énergie, ou critère.
Dans un premier temps, nous proposons des conditions suffisantes pour définir un critère assurant la
prise en compte des discontinuités. Nous montrons ensuite que sous ces conditions, il est possible de
transformer le critère en introduisant une variable auxiliaire interagissant avec la variable principale, soit
de manière additive, soit de manière multiplicative. Le rôle de la variable auxiliaire est double: marquer
les discontinuités et faciliter l’optimisation du critère. Le critère augmenté est quadratique en la variable
principale lorsqu’on fixe la variable auxiliaire et convexe par rapport à la variable auxiliaire lorsqu’on
fixe la variable principale. Dans ce dernier cas, nous donnons de plus l’expression littérale de la valeur
optimale de la variable auxiliaire.
Dans un second temps, nous exploitons d’un point de vue algorithmique les propriétés de cette
régularisation semi-quadratique. La stratégie d’optimisation adoptée consiste à minimiser
alternativement le critère par rapport à la variable principale et par rapport à la variable auxiliaire. Ceci
nous conduit à deux algorithmes à introduction progressive de discontinuités : ARTUR et LEGEND.
Nous proposons une étude théorique et pratique de ces algorithmes. Nous appliquons les algorithmes à la
reconstruction tomographique.
ARTUR et LEGEND réalisent un bon compromis entre temps de calcul et qualité d’image reconstruite.
Néanmoins, ils impliquent la résolution de systèmes linéaires de grandes tailles, lourds à manipuler d’un
point de vue informatique. Nous proposons, à titre de perspective, une technique permettant de limiter la
quantité d’information nécessaire à la reconstruction et, par là même, d’envisager des dimensions
d’image plus importantes.
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