Contributions mathématiques à l'étude de modèles décrivant le mouvement de particules confinées et de micro-organismes
Résumé
Les travaux menés portent sur la modélisation mathématique, l'analyse et la simulation numérique de systèmes d'équations aux dérivées partielles en application à la physique et à la biologie. Plus précisément, des modèles décrivant le mouvement d'électrons, l'agrégation de bactéries et la croissance cellulaire ont été considérés.
Tout d'abord, nous nous sommes intéressés à la description du transport d'un gaz d'électrons confiné dans des dispositifs à matériaux semi-conducteurs. Pour de tels dispositifs, les particules chargées induisant le courant sont extrêmement confinées dans une direction transverse à leur direction de transport. Dans une telle situation, les directions de transport et de confinement des électrons sont découplées, ce qui permet une réduction de la dimensionalité du problème considéré. Le confinement dans la direction transverse est décrit par les états propres de l'équation de Schrödinger stationnaire. L'énergie est alors quantifiée en sous-bande. Dans la direction de transport, le déplacement des électrons est soumis aux nombreuses collisions dans le réseau cristallin : collisions avec les phonons (pseudo-particules représentant les vibrations du réseau), collisions entre les électrons, collisions avec les impuretés. En fonction de l'importance relative des collisions considérées, une hiérarchie de modèle d'équations aux dérivées partielles est proposée et étudiée.
Ensuite, une seconde partie des travaux se focalisent sur l'étude de modèles décrivant le chimiotactisme bactérien, i.e. du mouvement de bactéries en réponse à un signal chimique extérieur. Un modèle cinétique a d'abord été étudié et simulé numériquement. Ce modèle d'équation modélise précisément le mouvement des bactéries par un processus de run and tumble, comme cela l'a été observé. Il s'agit d'alternance de phases de nage rectiligne dans une direction fixe et de phases de réorientation, durant lesquelles les bactéries choisissent aléatoirement une nouvelle direction pour la phase de run suivante. A partir de ce modèle, nous nous sommes intéressés à une approximation macroscopique de celui-ci conduisant à une
équation d'agrégation. L'analyse mathématique de cette équation soulève des difficultés car les solutions faibles explosent en temps fini. Une étude de l'existence et de l'unicité de solutions au sens mesure a alors été menée. Une notion de solutions mesures a donc été introduite. Cette étude a permis par ailleurs d'élaborer des schémas numériques permettant de simuler le comportement des agrégats de bactéries.
Enfin, des modèles décrivant la croissance cellulaire sont étudiés. Tout d'abord nous nous sommes intéressés à la migration collective d'une colonie de bactéries dans un milieu riche en substrat. Des observations expérimentales montrent la formation de dendrites migrant en formant des branchements à partir d'une colonie mère. A partir de ces observations expérimentales, nous avons proposé et étudié un modèle d'équations aux dérivées partielles dont les solutions ont un comportement similaire aux observations. Ensuite, nous nous focalisons sur des modèles macroscopiques de croissance de tumeur. Nous distinguons en particulier deux types de modèles : des modèles à densité cellulaire et des modèles géométriques. Les modèles à densité cellulaire décrivent la dynamique de la densité des cellules tumorales sous l'effet de la pression mécanique. Pour les modèles géométriques, la tumeur est représentée par son domaine qui évolue au cours du temps. Nous avons étudié le lien entre ces deux approches et établi l'existence d'ondes de propagation, mettant en évidence l'invasion des cellules tumorales dans le milieu environnant.
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