Maxwell and Yang-Mills Equations on Curved Black Hole Space-Times
Équations de Maxwell et de Yang-Mills sur des Espaces-Temps Courbes avec un Trou Noir
Résumé
In this thesis, we take a systematic study of global regularity of the Maxwell equations and of the Yang-Mills equations on curved black hole space-times. In the first chapter, we write the proof of the non-blow up of the Yang-Mills curvature on arbitrary curved space-times using the Klainerman-Rodnianski parametrix combined with suitable Grönwall type inequalities. While the Chruściel-Shatah argument requires a control on two derivatives of the Yang-Mills curvature, we can get away by controlling only one derivative instead, and write a new gauge independent proof on arbitrary, fixed, sufficiently smooth, globally hyperbolic, curved 4-dimensional Lorentzian manifolds. In it's sequel, we study the Maxwell equations in the domain of outer-communication of the Schwarzschild black hole. We show that if we assume that the middle components of the non-stationary solutions of the Maxwell equations verify a Morawetz type estimate supported on a compact region in space around the trapped surface, then we can prove uniform decay properties for the components of the Maxwell fields in the entire exterior of the Schwarzschild black hole, including the event horizon, by making only use of Sobolev inequalities combined with energy estimates using the Maxwell equations directly. This proof does not pass through the scalar wave equation on the Schwarzschild black hole, does not need to separate the middle components for the Maxwell fields, and would then be in particular useful for the non-abelian case of the Yang-Mills equations where the separation of the middle components cannot occur. The last chapter is an opening to different problems in partial differential equations.
Dans cette thèse, nous menons une étude systématique de régularité des champs de Maxwell et de Yang-Mills sur des espaces-temps courbes et en présence d'un trou noir. Dans le premier chapitre, nous écrivons la preuve de la non-explosion de la courbure de Yang-Mills sur des espaces-temps courbes quelconques, fixes, en utilisant la paramétrix de Klainerman-Rodnianski combinée avec des inégalités de type Grönwall appropriées. Alors que l'argument de Chruściel-Shatah nécessite un contrôle de deux dérivées de la courbure de Yang-Mills, nous pouvons en sortir en contrôlant uniquement une seule dérivée, et écrire une nouvelle preuve indépendante de tout choix de jauge. Dans le chapitre qui suit, nous étudions les équations de Maxwell dans le domaine extérieur du trou noir de Schwarzschild. Nous montrons que si nous supposons que les composantes du milieu des solutions non-stationnaires des équations de Maxwell vérifient une certaine estimée de type Morawetz sur une région compacte dans l'espace autour de la surface piégée, alors nous pouvons prouver des propriétés de décroissance uniforme pour les composantes des champs de Maxwell dans tout l'extérieur du trou noir de Schwarzschild, y compris des points sur l'horizon, en faisant uniquement recours à des inégalités de Sobolev combinées avec des estimées d'énergie en utilisant directement les équations de Maxwell. Cette preuve ne passe pas par l'équation d'onde scalaire, n'a pas besoin de séparer les composantes du milieu, et serait alors utile pour le cas des champs de Yang-Mills où la séparation ne peut pas se produire. Le dernier chapitre est une ouverture sur des problèmes différents en équations aux dérivées partielles.
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