Ingham inequalities and semi-lagrangian schemes for the Vlasov equation
Inégalités d'Ingham et schémas semi-lagrangiens pour l'équation de Vlasov
Résumé
In the first part, we gather several results in the control theory around Ingham inequalities which are generalizations of Parseval's equality and appear for showing the internal or boundary observability, controlability or stabilization of the wave equation or similar equations in certain particular cases. We are interested at first in the optimality of such inequalities, by generalizing a previous result in the vec- torial case. We then develop a Ingham type theorem adapted to treat the case of a cartesian geometry. Finally, we give some observability results in the case of nume- rical approximations. In a second part, we present the semi-Lagrangian method which is composed by essentially two ingredients : the computation of the caracteristics along which the distribution function is constant et the interpolation step. We analyse high order schemes in time based on directional splitting, which are a succession of linear transport steps. We then study the semi-Lagrangian methods in this particular case and we make the link between different formulations. We also obtain a convergence theorem for the Vlasov-Poisson system in this framework, which remains valid in the case of small displacements. We then develop this type of methods in a more ge- neral framework, by using one dimensionnal conservative splitting. We also consider a discontinuous Galerkin variant of such schemes. In a last part, we study the gyroaverage operator which appears in plasma physics by taking care of finite Larmor radius corrections. Finally, we discuss the problematic of zero discrete divergence which gives a compatibility between field computations and the numerical method of transport.
Dans une première partie, on rassemble plusieurs résultats en théorie du contrôle autour des inégalités d'Ingham, généralisations de l'égalité de Parseval, qui inter- viennent pour montrer l'observabilité, la contrôlabilité ou la stabilisation frontière ou interne de l'équation des ondes ou d'équations similaires dans certains cas parti- culiers. On s'intéresse dans un premier temps à l'optimalité de ce type d'inégalités en généralisant un résultat précédent au cas vectoriel. On développe ensuite un théo- rème de type Ingham adapté pour traiter le cas d'une géométrie cartésienne. Enfin, on donne des résultats d'observabilité dans le cas d'approximations numériques. Dans une seconde partie, on présente les méthodes semi-Lagrangiennes qui sont composées essentiellement de deux ingrédients : calcul des caractéristiques le long desquelles la fonction de distribution est constante et étape d'interpolation. On ana- lyse des schémas d'ordre élevé en temps pour le système de Vlasov-Poisson 1D×1D, basés sur le splitting directionnel, qui est une succession d'étapes de transport li- néaire. On étudie alors les méthodes semi-Lagrangiennes dans ce cas particulier et on fait le lien entre différentes formulations. On obtient également un théorème de convergence pour le système de Vlasov-Poisson dans ce cadre, qui reste valable pour des petits déplacements. On développe ensuite ce type de méthodes dans un cadre plus général, en se basant sur le splitting uni-dimensionnel conservatif, avec une variante de type Galerkin discontinu. Dans une dernière partie, on étudie l'opérateur de gyromoyenne qui intervient en physique des plasmas pour prendre en compte des corrections de rayon de Larmor fini. Enfin, on discute de la problématique de la divergence discrète nulle qui donne une compatibilité entre le calcul du champ et la méthode numérique de transport.
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