Asymptotic models for thin periodic layers in electromagnetism

Modèles et asymptotiques des interfaces fines et périodiques en électromagnétisme

Bérangère Delourme (1)

1 POEMS - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation

This work is dedicated to the study of asymptotic models associated with electromagnetic waves scattering from a complex periodic ring. This structure is made of a dielectric ring which contains two layers of wires winding around it. We are interested in situations where both the thickness of the ring and the distance between two consecutive wires are very small compared to the wavelength of the incident wave and the diameter of the ring. One easily understands that in these cases, numerical computation of the solution would become prohibitive as the small scale parameter (denoted by d) goes to 0, since the mesh used needs to accurately follow the geometry of the heterogeneities. In order to overcome this difficulty, we shall derive approximate models where the periodic ring is replaced by effective transmission conditions on the interface S. The numerical discretization of approximate problems is expected to be much less expensive than the exact one, since the mesh no longer needs to be constrained by the small scale. From a technical point of view, these approximate models are derived from the asymptotic expansion of the solution with respect to the small parameter d. Our method mixes matched asymptotic expansions and homogenization. We build the approximate transmission conditions from the truncated expansion. We pay particular attention to the stabilization of the effective transmission conditions. Error estimates and numerical simulations are carried out to validate the accuracy of the models.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.

Mots clés: matched asymptotic expansions; periodic homogenization; approximate transmission condition; Maxwell equations; Helmholtz equation

Mots clés: développements asymptotiques raccordés; homogénéisation périodique; condition de transmission approchée; équations de Maxwell; équation de Helmholtz

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Bérangère Delourme. Modèles et asymptotiques des interfaces fines et périodiques en électromagnétisme. Analyse numérique [math.NA]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00650354⟩