Numerical schemes for first order one-point closure turbulence models

Schémas numériques pour les modèles de turbulence statistiques en un point

Aurélien Larcher (1, 2)

1 IRSN/DPAM/SEMIC/LIMSI - Laboratoire d'études de l'Incendie et de développement de Méthodes pour la Simulation et les Incertitudes
2 LATP - Laboratoire d'Analyse, Topologie, Probabilités

First-order Reynolds Averaged Navier–Stokes (RANS) turbulence models are studied in this thesis. These latter consist of the Navier–Stokes equations, supplemented with a system of balance equations describing the evolution of characteristic scalar quantities called “turbulent scales”. In so doing, the contribution of the turbulent agitation to the momentum can be determined by adding a diffusive coefficient (called “turbulent viscosity”) in the Navier-Stokes equations, such that it is defined as a function of the turbulent scales. The numerical analysis problems, which are studied in this dissertation, are treated in the frame of a fractional step algorithm, consisting of an approximation on regular meshes of the Navier–Stokes equations by the nonconforming Crouzeix–Raviart finite elements, and a set of scalar convection–diffusion balance equations discretized by the standard finite volume method. A monotone numerical scheme based on the standard finite volume method is proposed so as to ensure that the turbulent scales, like the turbulent kinetic energy (k) and its dissipation rate (ε), remain positive in the case of the standard k − ε model, as well as the k − ε RNG and the extended k − ε − ¯v2 − f models. The convergence of the proposed numerical scheme is then studied on a system composed of the incompressible Stokes equations and a steady convection–diffusion equation, which are both coupled by the viscosities and the turbulent production term. This reduced model allows to deal with the main difficulty encountered in the analysis of such problems: the definition of the turbulent production term leads to consider a class of convection–diffusion problems with an irregular right-hand side belonging to L1. Finally, to step towards the unsteady problem, the convergence of the finite volume scheme for a model convection–diffusion equation with L1 data is proved. The a priori estimates on the solution and on is time derivative are obtained in discrete norms, for which corresponding continuous spaces are not dual. Consequently a more general compactness result than the Kolmogorov theorem is proved, which can be seen as a discrete counterpart of the Aubin–Simon lemma. This result allows to conclude to the convergence in L1 of a sequence of discrete functions to a solution of the continuous problem.

Les modèles de turbulence de type Navier–Stokes en moyenne de Reynolds (RANS) au premier ordre sont étudiés dans cette thèse. Ils sont constitués des équations de Navier–Stokes, auxquelles on adjoint un système d'équations de bilan pour des échelles scalaires caractéristiques de la turbulence. L'évaluation de celles-ci permet, grâce à une relation algébrique, de calculer une viscosité additionnelle dite “turbulente”, modélisant la contribution de l'agitation turbulente dans les équations de Navier–Stokes. Les problèmes d'analyse numérique abordés se placent dans le contexte d'un algorithme à pas fractionnaire constitué d'une approximation, sur un maillage régulier, des équations de Navier–Stokes par éléments finis non-conformes de Crouzeix–Raviart, ainsi que d'un ensemble d'équations de bilan de la turbulence de type convection–diffusion, discrétisées par la méthode de volumes finis standard. Un schéma numérique basé sur une discrétisation de volumes finis, permettant de préserver la positivité des échelles turbulentes telles que l'énergie cinétique turbulente (k) et son taux de dissipation (ε), est ainsi proposé dans le cas des modèles k − ε standard, k − ε RNG et leur extension k − ε − v2 − f. La convergence du schéma numérique proposé est ensuite étudiée sur un problème modèle constitué des équations de Stokes incompressibles et d'une équation de convection–diffusion stationnaires, couplées par les viscosités et le terme de production turbulente. Il permet d'aborder la difficulté principale de l'analyse d'un tel problème : l'expression du terme de production turbulente amène à considérer, pour les équations de bilan de la turbulence, un problème de convection–diffusion avec second membre appartenant à L1. Enfin, afin d'aborder le problème instationnaire, on montre la convergence du schéma de volumes finis pour une équation de convection–diffusion modèle avec second membre appartenant à L1. Les estimations a priori de la solution et de sa dérivée en temps sont obtenues dans des normes discrètes dont les espaces correspondants ne sont pas duaux. Un résultat de compacité plus général que le théorème de Kolmogorov usuel, qui se pose comme un équivalent discret du Lemme d'Aubin–Simon, est alors proposé et permet de conclure à la convergence dans L1 d'une suite de solutions discrètes.

Mots clés: Turbulence models; Crouzeix-Raviart finite elements; Finite volume schemes; Problems with L1 data; Modèles de turbulence; Éléments finis de Crouzeix–Raviart; Schémas de volumes finis; Problèmes à données L1

Domaines: Mathématiques [math]

Aurélien Larcher. Numerical schemes for first order one-point closure turbulence models. Mathematics [math]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00553161v1⟩