Gap-labeling des pavages de type pinwheel
Gap-labeling of pinwheel tilings
Résumé
In this thesis, we show that the $K_0$-group of the $C^*$-algebra associated to the pinwheel tiling is isomorphic to the sum of $\ZZ \oplus \ZZ^6$ with a cohomological group $H$.\\ This $C^*$-algebra is endowed with a trace that induces a linear map on the $K_0$-group.\\ We compute explicitly the image, under this map, of the summand $\ZZ \oplus \ZZ^6$, showing that $\ZZ$ is traceless and that the image of $\ZZ^6$ is contained in the module of patch frequencies of the pinwheel tiling.\\ We also prove that we can apply the measured index theorem due to A. Connes to relate the image of $H$ to a cohomological formula which is more computable.\\ To study this cohomological part, we adapt the PV cohomology, introduced by J. Savinien and J. Bellissard, to the pinwheel tiling in order to prove that the top \v{C}ech cohomology group of this tiling is isomorphic to the integer group of coinvariants of the canonical transversal associated to this tiling.\\ This result allows us to prove the gap-labeling conjecture made by J. Bellissard, in the special case of the pinwheel tiling.\\ We end this study by an explicit computation of this gap-labeling, showing that it is given by $\frac{1}{264}\ZZ \left [ \frac{1}{5} \right ]$.
Dans cette thèse, nous montrons que le groupe de K-théorie $K_0$ de la $C^*$-algèbre associée aux pavages de type pinwheel est isomorphe à la somme de $\ZZ \oplus \ZZ^6$ et d'un groupe cohomologique $H$.\\ Cette $C^*$-algèbre est de plus munie d'une trace qui induit une application linéaire sur ce groupe de $K$-théorie.\\ Nous calculons explicitement l'image, sous cette application, du sommant $\ZZ \oplus \ZZ^6$, montrant que l'image de $\ZZ$ est nulle et que l'image de $\ZZ^6$ est contenue dans le module de fréquences des patchs du pavage de type pinwheel.\\ Nous montrons également que l'on peut appliquer le théorème de l'indice mesuré dû à A. Connes pour relier l'image de $H$ à une formule cohomologique plus calculable.\\ Pour l'étude de cette partie cohomologique, nous adaptons la cohomologie PV, introduite par J. Savinien et J. Bellissard, au cas des pavages de type pinwheel pour montrer que le groupe de cohomologie de \v{C}ech de dimension maximale de ces pavages est isomorphe au groupe des coinvariants entiers de la transversale canonique associée à ces pavages.\\ Ce résultat nous permet alors de prouver la conjecture du gap-labeling fait par J. Bellissard, dans le cas particulier des pavages de type pinwheel.\\ Nous terminons cette étude par un calcul explicite, montrant que le gap-labeling (ou module de fréquences des patchs) est donné par $\frac{1}{264}\ZZ \left [ \frac{1}{5} \right ]$.