Constitutive relations with gradients of internal variables : derivation, variational formulation and numerical setting
Lois de comportement à gradients de variables internes : construction, formulation variationnelle et mise en œuvre numérique
Résumé
Experimental observations show that local theories fail to describe the behavior of materials submitted to strong gradients of mechanical fields, due to strain localization for instance. In that way, a general framework is proposed to take into account these gradient effects by extending the local generalized standard constitutive relations. It relies on two features : first, a homogenization method to derive constitutive relations with internal variable gradients at the scale of the material point, then a generalization of these constitutive laws at the structural scale, based on the internal variable fields. This variational framework is well-suited to examine such questions as existency conditions for the law of evolution, appropriate functional spaces for the internal variable fields or the relations between local and gradient models. Moreover, a time-discretization leads to express the global constitutive relation as the minimization of an energy. This problem is solved through an augmented lagrangian algorithm, which places the treatment of strong nonlinearities (among which the non differentiability of the energy) at the integration point level, and therefore allows an easy implementation in the software we used, namely the Code_Aster®. Three applications highlight the capabilities of this method. First, its efficiency is shown when applied to a brittle damage model, from the derivation of the constitutive law up to numerical simulations. Then, the widely used theory of gradient plasticity is cast into our framework, thus proving its degree of generality. Finally, its application to Rousselier's law for ductile fracture of steels points out the interaction between large plastic strains and nonlocal behavior.
Des observations expérimentales montrent que les modélisations locales ne suffisent pas pour décrire le comportement de matériaux sollicités par de forts gradients des champs mécaniques, qui résultent, par exemple, de la localisation des déformations. On propose ici une démarche constructive qui étend les lois locales de type standard généralisé pour rendre compte des effets de gradients. Elle se fonde, d'une part, sur une méthode d'homogénéisation pour construire une loi à gradients de variables internes à l'échelle du point matériel, et d'autre part, sur une formulation de cette loi à l'échelle de la structure, où les variables sont dorénavant les champs de variables internes. Cette formulation variationnelle du comportement offre un cadre adéquat pour examiner des questions telles que l'existence de solutions au problème d'évolution, le choix des espaces fonctionnels pour les variables internes ou encore le lien entre modèles locaux et modèles à gradients. Par ailleurs, après discrétisation temporelle, la loi de comportement s'exprime comme la minimisation d'une énergie, problème d'optimisation qui est résolu ici au moyen d'un algorithme de lagrangien augmenté. Ce choix permet de confiner les fortes non linéarités – dont le caractère non différentiable de l'énergie – au niveau des points d'intégration, ce qui autorise une introduction aisée de ces développements dans un code de calcul préexistant, le Code_Aster® en l'occurrence. Trois applications permettent alors de mettre en lumière les potentialités de la démarche. Tout d'abord, un modèle élastique fragile illustre son caractère constructif et opérationnel, depuis la construction du modèle jusqu'aux simulations numériques. Ensuite, l'insertion dans ce cadre variationnel des modèles de plasticité à gradients, abondamment employés dans la littérature, démontre le degré de généralité de la formulation. Enfin, son application à la loi de Rousselier pour modéliser un mécanisme de rupture ductile des aciers permet d'examiner l'interaction entre grandes déformations plastiques, d'une part, et comportement non local, d'autre part.
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