Spectral multipliers, R-bounded homomorphisms and analytic diffusion semigroups
Résumé
The thesis is concerned with the smooth functional calculus for operators with spectrum in the positive reals, more specifically spectral multiplier theorems.\\ We start with abstract and optimal functional calculi, that is, homomorphisms $u : C(K) \to B(X).$ If X is a Hilbert space, then the natural operator valued extension $C(K;[u]') \to B(X)$ is again bounded. Using $R$-boundedness, a strengthening of uniform boundedness of operators, we extend this result to general Banach spaces $X$ and apply it to the $H$ infinity calculus and to unconditional bases in $L^p$ spaces.\\ We develop calculi which are associated with sectorial operators. The classical examples are the spectral theorems of Mihlin and H\"{o}rmander giving classes of smooth functions which are Fourier multipliers on $L^p$. These theorems have already been extended to a large class of Laplace type operators. We add a unifying theme using operator theory: we compare the Mihlin and H\"{o}rmander calculus with the boundedness of classical operator families associated with the sectorial operator.\\ For the family of imaginary powers, we give a characterization of their polynomial norm growth in terms of a functional calculus which refines the Mihlin calculus.\\ We study diffusion semigroups acting on a scale of Banach spaces. If this scale is the classical $L^p$ spaces, it is known that the semigroup has an analytic extension on a sector in the complex plane. We give a generalization of this result to non-commutative $L^p$-spaces using the theory of operator spaces.
Ce travail traite du calcul fonctionnel des op\'{e}rateurs dont le spectre est contenu dans les nombres r\'{e}els positifs. On s'int\'{e}resse en particulier aux th\'{e}or\`{e}mes de multiplicateurs spectraux.\\ On aborde le calcul abstrait et optimal, c'est-\`{a}-dire les homomorphismes $u : C(K) \to B(X)$. Si $X$ est un espace de Hilbert, alors l'extension naturelle $\hat{u} : C(K;[u]') \to B(X)$ de $u$ sur l'ensemble des op\'{e}rateurs est \`{a} nouveau born\'{e}e. En utilisant la $R$-bornitude, un renforcement de la bornitude uniforme, on donne une extension de ce r\'{e}sultat \`{a} des espaces de Banach g\'{e}n\'{e}raux $X$ et on l'applique au calcul $H$ infini et aux bases inconditionnelles dans des espaces $L^p$.\\ On d\'{e}veloppe des calculs associ\'{e}s \`{a} des op\'{e}rateurs sectoriels. Les exemples classiques en sont les th\'{e}or\`{e}mes spectraux de Mihlin et H\"{o}rmander donnant des classes de fonctions lisses qui forment des multiplicateurs de Fourier sur $L^p$. Ces th\'{e}or\`{e}mes ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} \'{e}tendus \`{a} une large classe d'op\'{e}rateurs de type Laplacien. On les regroupe sous une forme unifi\'{e}e gr\^{a}ce \`{a} la th\'{e}orie des op\'{e}rateurs: on compare le calcul de Mihlin et de H\"{o}rmander \`{a} la bornitude des familles classiques associ\'{e}es \`{a} un op\'{e}rateur sectoriel.\\ Pour la famille des puissances imaginaires, on donne une caract\'{e}risation de leur croissance polynomiale en fonction d'un calcul fonctionnel qui raffine le calcul de Mihlin.\\ On \'{e}tudie des semi-groupes de diffusion qui agissent sur une \'{e}chelle d'espaces de Banach. Il est connu que le semi-groupe a une extension analytique sur un secteur dans le plan complexe si cette \'{e}chelle consiste des espaces $L^p$. On donne une g\'{e}n\'{e}ralisation de ce r\'{e}sultat \`{a} des espaces $L^p$ non commutatifs en utilisant la th\'{e}orie des espaces d'op\'{e}rateurs.