Some problems in complex and almost-complex geometry
Quelques problèmes de géométrie complexe et presque complexe
Résumé
In our thesis, we construct or adapt in other settings notions coming from algebraic geometry. We first concern ourselves with the theory of Chern classes for coherent sheaves. For projective manifolds, it is complete in the Chow rings via the existence of global locally free resolutions and it is a formal consequence of the theory for algebraic bundles. A result of Voisin shows that these resolutions do not always exist on general complex compact manifolds. We construct here Chern classes in rational Deligne cohomology for coherent analytic sheaves by induction on the dimension of the base manifold. To do so, we prescribe the Grothendieck-Riemann-Roch formula for immersions and we use dévissage methods. The classes we obtain are the only ones which verify the functoriality formula under pullback, the Whitney formula and the Grothendieck-Riemann-Roch formula for immersions; they then coincide with the topological classes and the Atiyah classes. Moreover, they satisfy the Grothendieck-Riemann-Roch theorem for projective morphisms. The second part of our work consists in studying the punctual Hilbert schemes of a symplectic or almost-complex fourfold. These manifolds have been built by Voisin and generalize the already known Hilbert schemes on projective surfaces. Using the relative integrable structures introduced in Voisin's construction, we can extend the classical theory to the symplectic or almost-complex setting. We compute the Betti numbers, define Nakajima operators, study the cohomology ring and the cobordism class of these Hilbert schemes, and we prove in this context a particular case of Ruan's crepant resolution conjecture.
Le travail effectué dans cette thèse consiste à construire et adapter dans d'autres cadres des objets issus de la géométrie algébrique. Nous nous intéressons d'abord à la théorie des classes de Chern pour les faisceaux cohérents. Sur les variétés projectives, elle est complètement achevée dans les anneaux de Chow grâce à l'existence de résolutions globales localement libres et se ramène formellement à la théorie pour les fibrés. Un résultat de Voisin montre que ces résolutions n'existent pas toujours sur des variétés complexes compactes générales. Nous construisons ici par récurrence sur la dimension de la variété de base des classes de Chern en cohomologie de Deligne rationnelle pour les faisceaux analytiques cohérents en imposant la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions et en utilisant des méthodes de dévissage. Ces classes sont les seules à vérifier la formule de fonctorialité par pull-back, la formule de Whitney et la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions; elles coïncident donc avec les classes topologiques et les classes d'Atiyah. Elles vérifient aussi le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch pour les morphismes projectifs. Notre second travail est l'étude des schémas de Hilbert ponctuels d'une variété symplectique ou presque complexe de dimension 4. Ils ont été construits par Voisin et généralisent les schémas de Hilbert connus pour les surfaces projectives. En utilisant les structures complexes relatives intégrables introduites dans la construction de Voisin, nous pouvons étendre au cas presque complexe ou symplectique la théorie classique. Nous calculons les nombres de Betti, nous construisons les opérateurs de Nakajima, nous étudions l'anneau de cohomologie et la classe de cobordisme de ces schémas de Hilbert, et nous prouvons dans ce contexte un cas particulier de la conjecture de la résolution crêpante de Ruan.
Mots clés
Domaines
Mathématiques [math]
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