Models and proof normalization
Modèles et normalisation des preuves
Résumé
The notion of theory split from the notion of logics in the late 1920's when Hilbert and Ackermann distinguished between deduction rules, which do not depend on the ob ject of the speech, and axioms, which depend on it. Then arose the question of how to characterize theories - defined by a set of axioms - which can be used to formalize mathematical reasoning. A first criterion is consistency : the fact that one cannot prove all propositions of a theory. However, it gradually appeared that this criterion was not a sufficient property. Witness and disjunction properties for constructive proofs, and completeness of certain methods of automated deduction are not entailed by the consistency of a theory. But those properties are all consequences of a single property : proof normalization. In 1930, Gödel's completeness theorem exhibited the fact that consistency can be defined by different means. It can be defined internally to the theory, as we have seen, but il can also be defined in an algebraic way : a theory is consistent if and only if it has a model. The equivalence between those two définitions is a fundamental tool that allowed to prove consistency of many theories : set theory with negation of the axiom of choice by Mostovski and Fraenkel, set theory with the axiom of choice and the continuum hypothesis by Gödel, set theory with negation of the continuum hypothesis by Cohen, . . . On the contrary, proof normalization property seemed to be only definable internally to the theory. Some model-theory inspired criteria have been used to prove proof normalization for certain theories but those criteria were not proved to be necessary. We propose in this thesis a algebraic criterion both necessary and sufficient for proof normalization. We show this way that proof normalization property can also be defined as a algebraic criterion like consistency property. For that purpose, we define a new notion of truth values algebras (TVA) called language dependent truth values algebras (LDTVAS). The notion of TVA allows to exhibit the algebra of reducibility candidates (the notion defined by Girard in 1970). The existence of a model valued on this algebra defines a algebraic sufficient criterion for proof normalization. We then define a refinement of the notion of reducibility candidates as one of those LDTVAS and prove that the existence of a model valued on this algebra defines a algebraic still sufficient but also necessary criterion for proof normalization. This criterion is defined for the logical frameworks of minimal deduction modulo and λΠ-calculus modulo. We finally exhibit the strength of λΠ-calculus modulo by showing that all functional Pure Type Systems can be embedded in it.
La notion de théorie s'est séparée de la notion de logique à la fin des années 1920, lorsque Hilbert et Ackermann ont distingué les règles de déduction, indépendantes de l'ob jet du discours, des axiomes qui lui sont spécifiques. S'est alors posée la question de caractériser les théories, définies donc comme des ensembles d'axiomes, que l'on peut utiliser pour formaliser une partie du raisonnement mathématique. Un premier critère est la cohérence de cette théorie : le fait qu'on ne puisse pas démontrer toutes les propositions de cette théorie. Cependant il est progressivement apparu que la cohérence n'était pas une propriété suffisante. Le fait que les démonstrations constructives vérifient les propriétés de la dijonction ou du témoin, ou la complétude de certaines méthodes de démonstration automatique ne découlent pas de la seule cohérence d'une théorie. Mais toutes trois sont par contre conséquentes d'une même propriété : la normalisation des démonstrations. En 1930, le théorème de complétude de Gödel montra que le critére de cohérence pouvait être vu sous différents angles. En plus de la définition précédente interne à la théorie de la démonstration, on peut également définir de manière algébrique la cohérence d'une théorie comme le fait qu'elle possède un modèle. L'équivalence entre ces deux définitions constitue un outil fondamental, qui a permis notamment la démonstration de la cohérence de nombreuses théories : la théorie des ensembles avec la négation de l'axiome du choix par Fraenkel et Mostovski, la théorie des ensembles avec l'axiome du choix et l'hypothèse du continue par Gödel, la théorie des ensembles avec la négation de l'hypothèse du continu par Cohen, . . . A l'inverse, la normalisation des démonstrations semblait ne pouvoir se définir que de manière interne à la théorie de la démonstration. Certains critères inspirés de la théorie des modèles étaient certes parfois utilisés pour démontrer la propriété de normalisation des démonstrations de certaines théories, mais la nécéssité de ces critéres n'avait pas été établie. Nous proposons dans cette thèse un critère algébrique à la fois nécessaire et suffisant pour la normalisation des démonstrations. Nous montrons ainsi que la propriété de normalisation des démonstrations peut également se définir comme un critère algébrique, à l'instar de la propriété de cohérence. Nous avons pour cela défini une nouvelle notion d'algèbre de valeurs de vérités (TVA) appelée algèbres de vérité dépendant du langage (LDTVA). La notion de TVA permet d'exhiber l'algèbre de valeurs de vérité des candidats de réductibilité définis par Girard en 1970. L'existence d'un modèle à valeurs dans cette algèbre définit un critère algébrique suffisant pour la propriété de normalisation des démonstrations. Puis nous avons défini un raffinement de la notion de candidats de réductibilité comme une de ces LDTVAs et avons montré que l'existence d'un modèle à valeurs dans cette algèbre définit un critère algébrique toujours suffisant mais également nécessaire pour la propriété de normalisation des démonstrations. Ce critère est défini pour les cadres logiques de la déduction minimale et du λΠ-calcul modulo. Et nous exhibons finalement la puissance du λΠ-calcul modulo en montrant que tous les systèmes de types purs fonctionnels peuvent être simulés dans ce cadre logique.
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