Linear prediction of long-memory processes

Prévision linéaire des processus à longue mémoire

Fanny Godet (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This PhD thesis deals with predicting long-memory processes. We assume that the processes are weakly stationary, linear, causal and invertible, but only a finite subset of the past observations is available.
We first present two approaches when the stochastic structure of the process is known: one is the truncation of the Wiener-Kolmogorov predictor, and the other is the projection of the forecast value on the observations, i.e.\ the least-squares predictor. We show that both predictors converge to the Wiener-Kolmogorov predictor.
When the stochastic structure is not known, we have to estimate the coefficients of the predictors defined in the first part. For the truncated Wiener-Kolomogorov, we use a parametric approach and we plug in the forecast coefficients from the Whittle estimator, which is computed on an independent realisation of the series. For the least-squares predictor, we plug the empirical autocovariances (computed on the same realisation or on an independent realisation) into the Yule-Walker equations. For the two predictors, we estimate the mean-squared error and prove the asymptotic normality.

Nous étudions des méthodes de prévision pour les processus à longue mémoire. Ils sont supposés stationnaires du second ordre, linéaires, causals et inversibles. Nous supposons tout d'abord que l'on connaît la loi du processus mais que l'on ne dispose que d'un nombre fini d'observations pour le prédire. Nous proposons alors deux prédicteurs linéaires : celui de Wiener-Kolmogorov tronqué et celui construit par projection sur le passé fini observé. Nous étudions leur comportement lorsque le nombre d'observations disponibles tend vers l'infini. Dans un deuxième temps nous ne supposons plus la loi du processus connue, il nous faut alors estimer les fonctions de prévision obtenues dans la première partie. Pour le prédicteur de Wiener-Kolmogorov tronqué, nous utilisons une approche paramétrique en estimant les coefficients du prédicteur grâce à l'estimateur de Whittle calculé sur une série indépendante de la série à prédire. Pour le prédicteur obtenu par projection, on estime les coefficients du prédicteur en remplaçant dans les équations de Yule-Walker les covariances par les covariances empiriques calculé sur une série indépendante ou sur la série à prédire. Pour les deux prédicteurs, on estime les erreurs quadratiques due à l'estimation des coefficients et on prouve leurs normalités asymptotiques.

Mots clés: prediction theory; long-memory; linear model; mean-squared forecast error; central limit theorem; prediction interval

Mots clés: processus à longue mémoire; modèle linéaire; erreur quadratique de prévision; normalité asymptotique; intervalle de prévision

Domaines: Mathématiques [math]

Fanny Godet. Prévision linéaire des processus à longue mémoire. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00349384⟩