, est le rapport de ce segment sur le grand il est égal au rapport de celui-là sur le grand et il est égal à DE c'est à dire celui là sur celui là On prend ce segment et on le divise par le grand, on prend ce segment, on prend son correspondant, on le divise par le grand ; ce segment là est égal à celui là [DE], j'ai placé ce petit triangle et je l'ai mis là. Ce segment sur celui-là. Là on a une proportionnalité extrême. Alors que pour l'autre, on avait une proportionnalité interne. On ne parle plus de triangles mais de segments. On prenait deux segments là dedans ([AB]) et on faisait leur rapport et s'était égal au rapport des segments correspondants dans cette figure. Les figures considérées n'étaient plus des triangles mais des segments Elèves : "OuiQuelle serait cette figure ? Elève ExLequel triangle
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, A cause des triangles semblables
, BD : CD :: BF : EF ou x : d :: x + cf//b -c : af/b donc afx/b = dx + cfd/b -cd ; et par conséquent x = cd
, sont égaux (9) et par construction CD = C'D et AD est en commun. D'après (16) on conclut que les triangles CAD et C'AD sont égaux et ainsi CA = C'A. On prouvera de même que CE = C
, toutes égales entre elles, comme on le reconnaît en pliant la figure selon, qu'il y ait n de ces bandes ou plus depuis BC jusqu'à MN. Comme la surface entière de l'angle droit BCD surpasse l'étendue BCMN de la somme de ces bandes, Nous formons ainsi des bandes BCEF
, C' sont égaux lorsqu'ils ont respectivement ou : 1°) deux côtés égaux comprenant un angle égal ou 2°) un côté égal AB = A'B' , ainsi que deux angles égaux placés de la même manière tel que A = A
, 210 -Soient deux droites quelconques AH, ah. Si sur l'une on prend des parties égales, Hh, dans une direction arbitraire, les parties ab, bc, cd, ..., qu'elles interceptent sur ah seront égales entre elles. Sigle : (P.E)
, divisons AE en un nombre arbitraire de parties égales et portons l
, ea -hi/ea. Or les distances HI et hi peuvent être rendues aussi petites qu'on voudra, en prenant le nombre de divisions de AE de plus en plus grand, de sorte que l'es points H et h sont les limites de I et de i
, EB est parallèle à HC, car si cela n'était pas
, Deux droites quelconques sont coupées en parties proportionnelles par des droites parallèles, Sigle : (F.P)
, D' sont égales, quel que soit n. Soit, par exemple, n= 5 : divisons AB en cinq parties égales aux points 1, 2, 3, 4 et supposons que la cinquième partie de AB soit contenue deux fois, mais non trois dans CD : soient I, II, II les extrémités de trois segments égaux au cinquième de AB et portés successivement sur la droite CD à partir du point C ; de sorte que les points I et II sont entre C et D ( le dernier pouvant toutefois coïncider avec C), le point II au delà du point D. Par tous ces points 1, 2, 3, 4, I, II, III, menons des parallèles à la direction commune des droites AA', BB', CC', DD', jusqu'à rencontre en 1', 2', 3', 4', I', II', III', avec la droite A'B'C'D'. nous avons ainsi divisé A'B' en cinq partie égales et porté tris fois l'une de ces parties à partir du point C' dans la direction C'D'. Les points I', II
, Une parallèle DE à l'un des côtés d'un triangle ABC partage les deux autres côtés AB, AC en parties proportionnelles, Sigle : (D.P.C.T)
, Si une droite divise deux côtés d'un triangle en parties proportionnelles
, Un faisceau de droites concourantes découpe sur deux parallèles des segments proportionnels, Sigle : (F.S)
, Les segments qui correspondent sont tous de même sens ou de sens contraire
, chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière et sa projection sur l'hypoténuse
, d'un point A pris dans le plan d'un cercle, on mène des sécantes à ce cercle
, On nomme puissance d'un point A, par rapport à une circonférence, le produit des segments qui vont du point A aux points d'intersection, avec la circonférence, d'une sécante quelconque issue de ce point (produit qui d'après le n° 131 est indépendant de la direction de la sécante) : ce produit étant précédé du signe
, Dans deux système homothétiques, la droite qui joint deux joints quelconques de l'un des systèmes et celle qui joint les deux points homologues de l'autre sont toujours parallèles et dans le rapport de similitude ; elles sont de même sens ou de sens contraire suivant que l'homothétie est directe ou inverse
, Réciproquement, s'il existe dans le plan de deux systèmes de points O, O' tels que la droite qui joint le point O à un point M quelconque du premier système et celle qui joint le point O' au point M' homologue du second soient constamment parallèles et dans un rapport donné k (toujours de même sens ou toujours de sens contraire, les deux systèmes sont homothétiques
, Par un point O d'une droite AB on peut mener d'un côté de cette droite, une demi-droite perpendiculaire à cette droite et on ne peut en mener qu'une
, Quand deux angles adjacents ont leurs côtés extérieurs en ligne droite, leur somme est égale à deux angles droits
, Une sécante rencontrant deux droites parallèles forme avec elles huit angles, dont généralement quatre sont égaux et quatre obtus
, Toute parallèle à un côté d'un triangle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels
, on obtient la même valeur approchée par défaut aux premiers stades des deux opérations de mesure, c'est à dire les deux nombres mesures cherchés
, Classe de quatrième III
, Distance de deux points sur une droite ; repères normés d'une droite. Abscisse d'un point M dans un repère normé ; notation MM
, Droite orientée (ou axe) Demi-droite. Segment
, Détermination d'une droite par deux points. Droites parallèles. Le parallélisme est une relation d'équivalence ; définition d'une direction de droites comme classe d'équivalence. Projection, de direction donnée
, Rapport de projection, pour une direction donnée, d'un axe sur un axe
, C'est une relation d'équivalence. Vecteurs et translations, addition des vecteurs et composition des translations. Direction d'un vecteur non nul
, plus simplement plan affine ou plan, s'il n'y a pas d'ambiguïté, -est un ensemble E dont les éléments sont appelés points du plan, structuré par les quatre axiomes suivants
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ? Si oui Si non Effectuer les calculs, p.597
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ? Si oui Si non Effectuer les calculs, p.598
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ?
, Expliquez pourquoi ? Peut-on calculer la longueur inconnue ? Si oui Si non Effectuer les calculs, p.599
, lequel est-ce 4.b) Peut-on savoir de combien il est le plus grand ? Si oui
, AC Cette égalité a été établie précédemment dans le cas où les rapports en questions étaient égaux à un nombre décimal ou à un nombre rationnels donnés
, Où se trouve le point D ? Que peut-on dire des longueurs AM, AD, et AN, quelles relations les lient-elles ? Quelles relations existent entre les rapports AM
, Prendre les propositions des élèves, sinon : ) Diviser le segment [AB] en dix parties égales Pour cela, pour différencier cette nouvelle division de la précédente, vous utiliserez de la couleur pour placer les points de division. Vous donnerez un encadrement du rapport AD/AB et en déduire un encadrement du rapport AE/AC, toujours en appliquant la méthode des parallèles et le résultat de la dernière séquence d de l'activité II. Comment peut-on encore affiner ces encadrements ? 7. Diviser en vingt segments le segment [AB]. Et reprenez les questions. Jusqu'où, d'après vous serait-il possible, dans certains cas, de pousser ce procédé ? Qu'en déduisez-vous, intuitivement, pour les rapports AD/AB et AE/AC ? Vu verrez en classe de troisième qu'il y a effectivement des rapports, comme le rapport de la diagonale d'un carré rapporté à son côté, qui ne peuvent pas s'exprimer sous forme de fraction, Mais même dans ce cas, le raisonnement précédent serait applicable puisque nous avons travaillé avec des rapports non identifiés
, un triangle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels Par exemple, dans un triangle ABC tel que le point D appartienne au segment [AB], et que la droite parallèle à la droite (BC) passant par D coupe [AC] en E, nous avons, Mais la conjecture que a été faite précédemment est un peu plus complète. Nous vous proposons maintenant de finir la démonstration