Cohomology of GL_2(Z[i,1/2]) with coefficients in F_2
Cohomologie de GL_2(Z[i,1/2]) à coefficients dans F_2
Résumé
The aim of this Phd thesis was to compute H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2). This cohomology ring appears in a certain version of the conjecture of Lichtenbaum and Quillen, asserting that the cohomology modulo 2 of the classifying space of a general linear group over Z[1/2] should be detected by the cohomology of its subgroup of diagonal matrices.
The original idea was to show that this conjecture fails in the special case of the general linear group of rank 4 over Z[1/2], and the cohomology of BGL_2(Z[i,1/2]) should have been the main argument. By computing H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), we proved that the conjecture is true in the case of GL_2(Z[i,1/2]).
The calculation of H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) depends on the analysis of a certain space Z on which PSL_2(Z[i]) acts in a good way, and the as well as on calculation of H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) and H*(BGo,F_2) where Go is a suitable subgroup of PSL_2(Z[i]) such that PSL_2(Z[i,1/2]) is isomorphic to the amalgamated sum PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). One obtains H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) by studying some morphisms from H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) to H*(BGo,F_2) and some spectral sequences.
The original idea was to show that this conjecture fails in the special case of the general linear group of rank 4 over Z[1/2], and the cohomology of BGL_2(Z[i,1/2]) should have been the main argument. By computing H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), we proved that the conjecture is true in the case of GL_2(Z[i,1/2]).
The calculation of H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) depends on the analysis of a certain space Z on which PSL_2(Z[i]) acts in a good way, and the as well as on calculation of H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) and H*(BGo,F_2) where Go is a suitable subgroup of PSL_2(Z[i]) such that PSL_2(Z[i,1/2]) is isomorphic to the amalgamated sum PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). One obtains H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) by studying some morphisms from H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) to H*(BGo,F_2) and some spectral sequences.
Le point de départ de cette thèse est une version instable de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen qui dit que la cohomologie modulo 2 du classifiant des groupes linéaires définis sur Z[1/2] serait détectée par la cohomologie du classifiant du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes linéaires. On sait que la conjecture est vraie pour n=1, 2 et 3, mais qu'elle est fausse à partir de n=14.
On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F_2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.
Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.
La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d'être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus délicate qu'on aurait pu l'espérer.
Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont été la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) où Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la décomposition en somme amalgamée PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en étudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.
On peut montrer que si la conjecture est vraie pour n=4, alors nécessairement, il existe un certain carré cartésien en cohomologie à coefficients dans F_2 dans lequel apparaît le classifiant du groupe GL_2(Z[i,1/2]). L'espoir initial, motivé par des idées de Henn et Lannes, était que la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) rendrait ce carré non cartésien, invalidant de ce fait la conjecture de Lichtenbaum et Quillen dès n=4.
Nous avons calculé la cohomologie à coefficients dans F_2 de BGL_2(Z[i,1/2]) et montré que le carré cartésien sus-nommé est bien cartésien.
La conjecture a ainsi passé un test avec succès et a encore des chances d'être vraie pour n=4. En tout cas, la recherche d'un contre-exemple est plus délicate qu'on aurait pu l'espérer.
Les moyens utilisés pour effectuer le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) ont été la construction d'un certain espace Z sur lequel le groupe PSL_2(Z[i]) agit avec de bonnes propriétés, et le calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) où Go est un certain sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel qu'on ai la décomposition en somme amalgamée PSL_2(Z[i,1/2])=PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient ensuite H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) en étudiant certains morphismes de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) vers H*(BGo,F_2) et plusieurs suites spectrales.