, parmi les connaissances nécessaires pour aborder l'analyse dans l'enseignement supérieur (par exemple celles identifiées au II. 2.3), y en a-t-il qui pourraient être travaillées dans l'enseignement secondaire, afin d'assurer une meilleure transition secondaire
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, (EMI) Barney WILEN Un témoin dans la ville. (Fontana) Bill EVANS You must believe in spring
, 01 P : tout le monde a une feuille ? J'ai distribué un papier, on va peut-être le lire ensemble ; allez, chut,vous êtes plus en sixième Alors on va travailler sur les fonctions ; je vous avais dit qu'on ferait un travail en espagnol ; il y en a qui sont très déçus, la première feuille est en français, je suis désolée, c'est moi qui l'ai faite ; ça va venir. Dans un premier temps, on va se mettre d'accord sur ce que c'est qu'un graphique de fonction, comment on va travailler dessus. Alors au départ, vous allez travailler sur cette feuille-là , puis vous aurez les feuilles suivantes, à chaque fois il s'agira de faire des graphiques. Jaoued, t'as une feuille ? Donc le travail, comme d'habitude, j'ai mis une petite flèche, attention, ceci est votre cours sur les fonctions numériques. Alors vous prenez votre cahier de cours
, Un point, c'est une fonction, un point ? Prisca : un cercle? Fabien : eh ! un cercle c'est pas une fonction ! Prisca : un cercle n'est pas considéré comme une fonction? (P travaille avec le groupe 2 Arnaud) : 04 P : là est-ce que c'est un graphique de fonction ? 05 Sébastien : non, pour une ordonnée y a deux abscisses. 06 Fabien : Madame, on se demandait? 07 Prisca ; une courbe c'est une fonction ? 08 P : une courbe c'est un ensemble de points du plan, du plan mathématique, mais il y a des courbes mathématiques, qui ne sont pas des fonctions? quel critère on va retenir? 09 Fabien : x a une seule image 10 Prisca : oui, alors sur la courbe, si on prend x?
, est finalement un problème d'ensemble de définition, parce que, certains groupes disent, est-ce que j'ai le droit de prendre un seul point et de dire que c'est une fonction, ou est-ce que j'ai le droit par exemple, de prendre deux segments comme ça (dessine) et de dire, au milieu y a rien, mais c'est quand même une fonction. Alors la question c'est, quand on définit une fonction
, est une fonction, est-ce que c'est un graphique de fonction ? 20 E1 : non ! E2 : oui 21 P : on dira que oui, seulement elle est pas définie en beaucoup de points, elle est définie exactement en un seul point, au point x=3 et c'est tout ; quelqu'un a écrit l'intervalle [3,3] ; c'est juste, ça prolonge la notation habituelle des fonctions ; habituellement, on disait une fonction définie sur
, segments) par exemple, -5. ?1. 4 . 8 : est-ce que j'ai le droit de dire que c'est une fonction ? 22 Es : oui 23 P : et quel est son ensemble de définition ? 24 Es : [-5.-1], ces exemples, je pense que vous pouvez les noter, c'est un peu les exemples limites qu'on va rencontrer ; alors remarque à ce sujet : quand on parle des fonctions en termes de Isabelle Bloch
, Allez, les fonctions de Seconde, et après je distribue l'autre fiche. (11H10) Les élèves travaillent en groupes. 33 Prisca : d'abord y a fonction affine et linéaire Groupe 3 : Guillaume L., Blandine, Vianney, Christian 34 Blandine : racine de ? 6, c'est pas une? P passe dans les groupes, vérifie l'avancement et distribue les fiches suivantes. 35 Prisca : Bien ! on fait les graphiques, c'est tout ! Sonnerie ? Pause 10 mn Retour des élèves, suite du travail en groupes 36 Prisca, à Christian et Vianney : vous êtes sûrs ? il faut dire qu'il y a des (inaudible) 37 P : majorer, minorer, vous l'avez au dos de la fiche, ) : avancez un peu, là ! (Guillaume L. demande une précision ? inaudible ? P répond) Discussions sur fonction croissante : importance des quantificateurs universels, les élèves dessinent des graphiques répondant aux conditions imposées
, c'est ce que j'ai dit ! 44 Prisca : cherche dans son livre de mathématiques la définition d'un maximum et la lit à haute voix. Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe, p.45
, P : sur les fonctions, vous vous souvenez qu'hier, on avait éclairci un certain nombre de points sur les maximums, les minimums, et les fonctions bornées ; par exemple une question qui avait été posée par certains d'entre vous, c'était : est-ce que toute fonction qui admet un majorant, a aussi un maximum. On avait vu que c'était pas absolument obligatoire, c'est-àdire qu'il y a des fonctions qui ont un majorant, et qui n'ont pas de maximum
, est pour tout x : on vous demande de tracer le graphique d'une fonction f définie où ça ? où est-elle définie ? d'après ce qui est écrit dans certains cadres, elle n'est pas uniquement définie sur [a,b], puisqu'il y a des cadres où on prend x < a par exemple ; donc elle est définie sur un intervalle qui contient [a,b], ce qui veut dire
, on dit que si a < x < b, alors f(a) < f(x) < f(b) ; alors en fait pour que ce soit tout à fait correct mathématiquement, il faudrait mettre quel que soit x tel que a < x < b (P écrit en même temps)
, est-ce que la fonction était nécessairement croissante ? 06 E : non 07 P : et là, est-ce qu'elle l'est ? 08 E : oui 09 P : oui, bon? Après, quelquefois, on avait eu du mal à trouver une fonction qui convenait ; ça marchait jusqu'où ? 10 E : le 6, au cadre 6 on a des problèmes 11 P : Est-ce que tout le monde est allé jusque là ? 12 Es : oui 13 P : bon, on reprend là. On dit, pour tout x < a, on f(b) > f(x) ; et pour tout x > b, on a aussi cette condition, f(b) > f(x) ; ça va, c'est clair ? Bien ; alors est-ce que vous pouvez tracer une fonction qui vérifie ces conditions ? 14 Es : oui 15 P : oui ? vous pouvez me l'expliquer en termes aussi mathématiques que possible ? qu'estce qui se passe pour la fonction f ?
, on ne dit pas jusqu'où la fonction est définie ; soit sur un intervalle plus grand que [a,b] et ça s'arrête quelque part ; soit souvent on dit qu'elle est définie sur R tout entier, du côté de moins l'infini et aussi de plus l'infini, mais alors avec des réserves sur ce que le graphique me dira ; vous vous souvenez qu'on avait dit au début, les graphiques quand ça va vers l'infini, il faut être sûr que ça continue à faire exactement ce que ça
, 55 P : attention, on a toujours dit, un minorant, c'est? 56 E : sur un intervalle 57 P : oui, là sur chaque intervalle, on peut regarder? 58 Facila : quelle est la différence entre un majorant et un maximum ? 59 P : oui, c'est une des choses dont on a discuté hier, alors attendez? d'abord on regarde sur la croissance, et ensuite on reparle de la différence entre majorant et maximum, d'accord ? 60 P : alors, on a dit tout à l'heure, quand on a la condition f(a) < f(x) < f(b), la fonction est croissante, est-ce que c'est vrai ?
, on enrichisse notre champ de fonctions, il faut qu'on mette en plus des fonctions qui sont pas toujours continues
, on met les quantificateurs chaque fois qu'on en a besoin, et on essaye d'enrichir notre catalogue de fonctions. Ça va ? vous essayez 8
, vous en pensez quoi ? 68 Es : impossible ! 69 P : pourquoi ? 70 Es : pour la même valeur de x, on demande le contraire 71 P : j'ai l'impression quand même que c'est plutôt une erreur d'imprimerie, vous mettez dans la deuxième case x < a , on va le faire comme ça. 72 E : oui ça marche 73 E : non 74 P : (dessine au tableau) 75 P : est-ce que le 9 marche ? 76 Es : oui ! 77 P : on fait un dessin pour le 9 ? allez ? un courageux volontaire pour faire un dessin? Magali (au tableau, dessine ; elle note f(a) et f(b) sur le graphique) 78 P : oui
, ça veut dire quoi, ça veut dire, impossible de trouver une courbe en accord, impossible de respecter les contraintes, impossible de répondre. 83 Marina : mais là, c'est pas impossible, mais il nous manque des trucs, je sais pas, c'est pas? 84 Fabien T. : différent ! 85 P : pas tous à la fois, tout le monde écoute Marina 86 Marina : c'est pas que c'est impossible, mais il nous manque des références 87 P : et est-ce que ces références, vous pouvez vous les donner ou pas ? 88 Marina : non? en prenant des points, euh? 89 P : en prenant des points ? Là vous avez a, f(a) ? le troisième, apparemment c'est le troisième qui vous pose problème 90 Es
, avec les seules indications qui me sont données? alors par rapport à a, alors moi je crois que raisonnablement, ce qu'on peut répondre, c'est que les conditions données ne suffisent pas, car f(x) est tantôt plus grand, tantôt plus petit que f(a), je ne peux pas compléter, ni avec > , ni avec < , ni avec différent, car c'est faux, donc je ne peux pas répondre. 92 E : en précisant les intervalles? 93 P : oui, d'accord, si je découpe comme ça
, vous mettez comme titre : somme de deux fonctions. 168 E : c'est grand 3. 169 P : grand trois ? d'accord, somme et produit de deux fonctions, E : y avait pas de grand 2. 171 P : grand 2 c'était " Propriétés des fonctions
, vous avez pris des points, comme f est négative, f c'est ?1, à chaque fois vous descendez de ?1
, est-ce que je fais ? 180 E : j'ajoute l'ordonnée de g 181 P : oui ; je suis partie d'un point d'abscisse x, je garde bien la même abscisse ; alors qu'est-ce que je fais comme transformation ? 182 E : l'ordonnée à l'origine? 183 E : je change de repère 184 P : non, j'ai toujours mon repère, simplement, le point x,y , il devient x, y-1. Je vais vous faire un petit dessin, j'avais un point x, y, et maintenant, j'ai x, y-1. Et je fais la même chose pour tous les points. Vous voulez que j'en prenne un autre ? voilà. Ça s'appelle comment ce que je fais là ? c'est quelque chose que vous avez déjà vu. 185 Claire : une translation 186 P : très bien, Claire, c'est une translation. Autrement dit, quand l'une des fonctions est constante, qu'est-ce que je fais pour obtenir la courbe somme ? Tout simplement une translation, p.ici ? j . (P écrit : si f
, lundi on continue sur les produits
, il n'est pas toujours possible de repérer l'élève qui est intervenu: dans ce cas l'élève est désigné par E et non par son prénom. 01 P: on fait le point sur les fonctions non majorées sur ]-2,0[ : les problèmes posés par le groupe du lundi, La courbe ne coupe pas l'axe x = -2
, (ensemble, d'une voix forte et très assurée, pour toute la classe) quel que soit M, il existe x tel que f(x) = M 27 P: Ça, est-ce que ça dit bien? qu'en pensez-vous? 372
, 0,2 c'est très grand par rapport à 10 -99 : M c'est un majorant? (E sur sa feuille: 1/x . 1/x > 60 ; x, p.41
, Pour 60: Christian au tableau écrit: 1/x 2 > 60 d'où x 2 < 1/60 ; or x est positif donc x < 1/v60; on prend un x dans ]0,1] qui est plus petit que 1/v60 et Christian conclut, p.60
, ] , des x tels que x < 1/ vM . 48 P (commente ce point M>1 qui fait difficulté pour M littéral): on a pris M>1, qui peut le plus, peut le moins... par exemple, pour x = 10 -49 , il est clair que 1/x 2 est plus grand que 1, que zéro
, les élèves ont préparé des fiches de sommes et produits de fonctions (voir annexe) Le professeur corrige les sommes : 01 P : si on ajoute à f une fonction constante, ça revient à faire une translation... c'est ce que vous avez fait... on obtient une courbe parallèle, Pour parabole et y=x
, H) Les élèves sont en groupes de 3 ou 4 ; le but de la première séquence est de calculer le périmètre et l, MODULE DU 16
, On calcule le périmètre et l'aire du flocon à l'étape n ; on essaie de trouver la formule générale qui donne P n et A n ; vous pouvez partir de P o , P 1... . Vous pouvez vous aider de votre dessin ; vous pouvez vous aider aussi des petits croquis que j'ai fait sur la feuille. Voilà. 002 E : P o et A o ? 003 P : On ne demande pas de les calculer
, Mais regarde c'est 3x... ah non! (à Y.) et qu'est-ce que tu fais après ?, pp.5-6
, 008 P (à gr 2) oui, vous regardez votre dessin, par rapport au petit schéma... Sébastien dit qu'on rejoute 1/3 ; regardez, ça doit pouvoir marcher comme ça. Et de l'étape n à l'étape n+1, alors, tu fais quoi ?
, 16/9 c'est 4/3 de... alors on essaye avec P 3 , voir si ça marche
, ça fait combien ? oui c'est ça il y en a 16 (Sandra pose son doigt sur la feuille de Sébastien ; ils pointent ensemble un calcul
, 12! (Davy pointe son crayon sur la feuille de Laurent) ça fait 3n fois... base multiplié par hauteur Mickaël : Regarde : t'as d + h sur... ça fait...(silence) Sylvain : t'as rajouté 3 triangles... on reprend depuis le début ! P. (à gr 1) : ah bon, mais on demande pas de calculer l'aire. Mais si vous voulez savoir comment ça se calcule, c'est base multipliée par hauteur sur deux. Alors h c'est
, pourquoi t'as ajouté 6 triangles ? regarde, à l'étape 2, tu as ajouté cette aire, et cette aire... t'es d'accord ? ils sont équilatéraux ; ça fait quoi ce triangle, là ? Yaëlle : en fonction de Ao
, Ao plus...plus une étape quoi. (à Christophe) j'ai pas compris ce que tu veux faire là Christophe : tu dis que là c'est des tiers là
, ah oui d'accord ; alors ça fait 3 fois un tiers
, On a trouvé 3 fois 2 exposant 2 fois Ao sur 9 exposant 2, donc on dit 3 fois 2 exposant on sait pas combien n, sur 9 exposant n
, est bien, ça ; si tu remarques, celui-là il marche aussi ; alors c'est comme une suite géométrique
, Mais on peut pas mettre 3 Ao en facteur
, E : il faut la valeur de Po, non ? (Les élèves discutent 3 ou 4 minutes) 011 E : comment on fait ? 012 P : qu'est-ce qu'on essaye de savoir ? oui Davy, tu prends quoi comme valeurs ? 013 Davy : pour n ? 014 P : oui pour n. 015 Jérôme : des valeurs plus petites... 016 P : les valeurs qu'on prend, elles vont être en rapport avec la question qu'on se pose. C'est quoi la question ? Flora, oui ?, Flora : qu'est-ce que ça fait quand n est grand, p.17
, Davy) : là comment tu fais ? j'arrive à 800... 022 E : l'aire Ao ?
, est possible que ce soit ça ? 025 P : oui, c'est pas impossible. Qu'est-ce que tu en penses ? 026 Frédéric : Pn a l'air de grandir beaucoup, et An a l'air de se stabiliser. 027 P : oui, "a l'air", voilà! (Les élèves calculent ; certains programment la suite
, 031 P : et après qu'est qu'il se passe ? 032 E : 786 ; on est arrivé à n = 786 033 E : exposant ? 034 P : oui, c'est dix puissance quelque chose. 035 E : 10 puissance 99 036 Sylvain : pourquoi vous avez pris 786 ? 037 P : pourquoi on a pris 786, parce que j'ai demandé la plus grande valeur ; après la machine ne veut plus calculer. Pourquoi elle ne veut plus calculer ? 038 Flora : 10 exposant 100 : elle peut plus après 10 exposant 100. 039 P : la capacité des machines s'arrête à 10 exposant 100 ; au fait, tout le monde sait que quand la calculatrice affiche 8,6 . 99, ça veut dire 8,6 . 10 99 ? tout le monde sait ça ? (les élèves approuvent). oui, avant c'est quand même moins grand, En termes mathématiques, elle est comment cette suite ? 040 Es : elle est croissante approchée ? sur la Casio... fais voir... (P. écrit au tableau, pp.500-700
, A 33 ne peut pas être plus petit que A 32
, on a obtenu, c'est avec la HP de Sébastien, après ça change plus, ça veut dire que la machine, elle voit plus la différence, pp.66-22447378461