Discretization of measurability constraints in stochastic optimization
Contributions à la discretisation des contraintes de mesurabilité pour les problèmes d'optimisation stochastique
Résumé
Our attention has been concentrated on various aspects of stochastic
optimization problems which, according to our knowledge, have not been
studied enough.
Therefore first we shall be interested in the problem relative to the
dual effect, afterwards in the discretization of the measurability
constraints, in static information problem's numerical resolution
and finally we shall study a stochastic optimization problem's optimality
conditions with the purpose of searching for a better
comprehension of the way which intervenes the measurability constraint
in the optimal solution(s) characterization.
Our problem's numerical approach is original of two points of view :
it uses (the) topologies over the space of sigma-fields in order to
measure the information loss ought to the measurability constraint's
discretization . Furthermore the study of this space has brought in new
results which constitue essential elements of our research.
We show that the discretization error results from the contribution of two other
error terms : one resulting from the discretization of the measurability
constraint and of another resulting from the approximation of the
expectation.
In this paper we give asymptotical convergence results of a series
of discrete problems towards the original problem.
For the same particular problem we obtain as well Lipschitz type
results over the value function. Moreover by studying the optimality
conditions we obtain two different possible ways of approaching a
stochastic optimal control problem
optimization problems which, according to our knowledge, have not been
studied enough.
Therefore first we shall be interested in the problem relative to the
dual effect, afterwards in the discretization of the measurability
constraints, in static information problem's numerical resolution
and finally we shall study a stochastic optimization problem's optimality
conditions with the purpose of searching for a better
comprehension of the way which intervenes the measurability constraint
in the optimal solution(s) characterization.
Our problem's numerical approach is original of two points of view :
it uses (the) topologies over the space of sigma-fields in order to
measure the information loss ought to the measurability constraint's
discretization . Furthermore the study of this space has brought in new
results which constitue essential elements of our research.
We show that the discretization error results from the contribution of two other
error terms : one resulting from the discretization of the measurability
constraint and of another resulting from the approximation of the
expectation.
In this paper we give asymptotical convergence results of a series
of discrete problems towards the original problem.
For the same particular problem we obtain as well Lipschitz type
results over the value function. Moreover by studying the optimality
conditions we obtain two different possible ways of approaching a
stochastic optimal control problem
Nous nous sommes penchés sur différents aspects des problèmes
d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu
étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,
puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la
résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,
nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème
d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux
comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la
caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche
numérique du problème est originale de deux points de vue :
Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres
pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la
contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre
autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments
essentiels dans notre étude~;
Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la
contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la
discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur
issue de l'approximation de l'espérance.
Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de
convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème
d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des
résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,
l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux
possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale
stochastique.
d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu
étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,
puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la
résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,
nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème
d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux
comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la
caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche
numérique du problème est originale de deux points de vue :
Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres
pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la
contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre
autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments
essentiels dans notre étude~;
Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la
contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la
discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur
issue de l'approximation de l'espérance.
Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de
convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème
d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des
résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,
l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux
possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale
stochastique.
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