Combinatorial aspects of tilings

Aspects combinatoires des pavages

Frédéric Chavanon (1, 2)

1 LIAFA - Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications
2 LIP - Laboratoire de l'Informatique du Parallélisme

In the context of studying sets of tilings, we focus on the case of tilings of zonotopes (which are figures of a space defined by all linear combinations of a given set of vectors). We first define a graph which is a dual of a tiling of a planar zonotope using the adjacency relation between tiles, then we prove the one-to-one correspondence between the two sets.
We also study how the flip operation (which is local reorganization of tiles) is defined on the dual, allowing to study the set of tilings of the corresponding zonotope.
This method can only hardly apply to higher dimensional cases (non planar zonotopes), we finalized a method by decomposition allowing to study a tiling by considering the properties of smaller ones.
This kind of method was performed to prove strong results on the reconstruction and structure of tilings in the particular case of codimension 2. Moreover, this alllowed a connectivity result on some cases of high dimension.
We chose zonotopal tilings for they extend quite naturally some classically studied tilings (such as domino tilings on the square lattice or lozenge tilings on the triangular lattice). Moreover, this tilings are not defined on a lattice, and they are defined in any dimension.

Dans le cadre de l'étude des ensembles de pavages, nous nous sommes concentrés sur le cas des pavages de zonotopes (figures d'un espace formées de toutes les combinaisons linéaires d'un ensemble de vecteurs donnés). Après avoir défini un graphe dual d'un pavage de zonotope planaire (par l'utilisation de la relation d'adjacence liant les tuiles), nous avons montré la relation biunivoque qui lie les deux classes d'objets. Nous avons alors étudié comment l'opération de flip (qui est un réarrangement local de tuiles) peut s'exprimer sur le dual, permettant par la suite de construire l'ensemble des pavages du zonotope associé. Cette méthode ne pouvant que très difficilement s'adapter aux cas de dimensions supérieures (zonotopes non planaires), nous avons alors mis au point une méthode de décomposition permettant d'étudier un pavage en nous focalisant sur les propriétés de pavages plus petits. Ce type de méthode nous a permis de démontrer des résultats forts de reconstruction et de structure dans le cas de pavages de dimension 2. De plus, ceci nous a permis de démontrer des résultats de connexité dans certains cas particuliers de dimensions supérieures. Le choix des pavages de zonotopes étend naturellement certains pavages étudiés classiquement (tels que les pavages de dominos sur une grille carrée ou de losanges sur une grille triangulaire). En effet, ils ne peuvent être définis sur une grille, et sont définis en toute dimension.

Mots clés: tilings; algorithmics; combinatorics; orders

Mots clés: pavages; algorithmique; combinatoire; théorie des ordres

Domaines: Autre [cs.OH]

Frédéric Chavanon. Aspects combinatoires des pavages. Autre [cs.OH]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008764⟩