Application of the theory of the viscosity solutions to the Shape From Shading problem
Résumé
``Shape From Shading'' is considered as an ill-posed problem which is therefore difficult to solve. In order to understand the difficulty of this problem and to design reliable and relevant solutions, we propose a rigorous approach based on the notion of viscosity solutions. In particular, we systematically prove the existence and uniqueness of the solution; if necessary (when uniqueness does not hold) we characterize the solutions. We also demonstrate the convergence of our algorithms. After having considered and fully exploited the (partial differential) equations provided by the classical modeling of the Shape From Shading problem, we propose and study some new equations arising from modelings which are more realistic than the ones considered in the Shape From Shading literature. In particular, this allows us to demonstrate that, with more realistic modelings, the Shape From Shading problem is generally well-posed. In effect, we prove that the classical version of the Shape From Shading problem is ill-posed because of an over-simplification in the modeling. In this work, we also propose an extension of the notion of the singular viscosity solutions developed recently by Camilli and Siconolfi. This extension allows to propose a new characterization of the discontinuous viscosity solutions. This new mathematical framework also allows to unify the various theoretical results that have been obtained in the Shape From Shading area.
Le problème du « Shape From Shading » est aujourd'hui considéré comme un problème mal posé et difficile à résoudre. Afin de bien comprendre les difficultés de ce problème et d'apporter des solutions fiables et pertinentes, nous proposons une approche rigoureuse basée sur la notion de solution de viscosité.
Après avoir considéré et exploité au maximum les équations (aux dérivées partielles) obtenues à partir de la modélisation classique du problème du « Shape From Shading », nous proposons et étudions de nouvelles équations provenant de modélisations plus réalistes que celles qui avaient été traitées classiquement dans la littérature. Cette démarche nous permet alors de démontrer qu'avec de telles nouvelles modélisations, le problème du « Shape From Shading » est généralement un problème complètement bien posé. En d'autres termes, nous prouvons que la version classique du problème du « Shape from Shading » est devenu mal posée à cause d'une trop grande simplification de la modélisation.
Dans ce travail, nous proposons aussi une extension de la notion de solutions de viscosité singulières développée récemment par Camilli et Siconolfi. Cette extension nous permet de proposer une nouvelle caractérisation des solutions de viscosité discontinues. Ce nouveau cadre théorique nous permet aussi d'unifier les différents résultats théoriques proposés dans le domaine du « Shape From Shading ».
Après avoir considéré et exploité au maximum les équations (aux dérivées partielles) obtenues à partir de la modélisation classique du problème du « Shape From Shading », nous proposons et étudions de nouvelles équations provenant de modélisations plus réalistes que celles qui avaient été traitées classiquement dans la littérature. Cette démarche nous permet alors de démontrer qu'avec de telles nouvelles modélisations, le problème du « Shape From Shading » est généralement un problème complètement bien posé. En d'autres termes, nous prouvons que la version classique du problème du « Shape from Shading » est devenu mal posée à cause d'une trop grande simplification de la modélisation.
Dans ce travail, nous proposons aussi une extension de la notion de solutions de viscosité singulières développée récemment par Camilli et Siconolfi. Cette extension nous permet de proposer une nouvelle caractérisation des solutions de viscosité discontinues. Ce nouveau cadre théorique nous permet aussi d'unifier les différents résultats théoriques proposés dans le domaine du « Shape From Shading ».